Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，且AC=CD=

2

，又E，D為CB的三等分點．
（1）證明：△ADE∽△BDA；
（2）證明：∠ADC=∠AEC+∠B；
（3）若點P為線段AB上一動點，連接PE，則使得線段PE的長度為整數(shù)的點P的個數(shù)有幾個？請說明理由．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由AC=CD=DE=EB=

2

，∠C=90°，利用勾股定理易求AD=2，從而可求

DE

AD

=

DA

BD

=

2

2

，又∠ADE=∠BDA，那么可證△ADE∽△BDA；
（2）由于△ADE∽△BDA，利用形似三角形的性質(zhì)可知∠DAE=∠B，再由三角形外角定義可知∠ADC=∠AEC+∠DAE，等量代換即可證明；
（3）在直角三角形ACD中，由AC與CE，利用勾股定理求出AE的長，根據(jù)AE與△ABE中AB邊高的長，確定出PE的范圍，即可得出PE為整數(shù)的點P的個數(shù)．

解答：（1）證明：∵AC=CD=DE=EB=

2

，
又∠C=90°，
∴AD=2，
∴

DE

AD

=

2

2

，

DA

BD

=

2

2 2

=

2

2

，
∴

DE

AD

=

DA

BD

，
又∵∠ADE=∠BDA，
∴△ADE∽△BDA；
（2）證明：∵△ADE∽△BDA，
∴∠DAE=∠B，
又∵∠ADC=∠AEC+∠DAE，
∴∠ADC=∠AEC+∠B；
（3）解：∵點P為線段AB上一動點，
根據(jù)勾股定理得：AE=

AC2+CE2

=

10

，BE=

2

，
∴PE的最大值為

10

．
作EF⊥AB，則EF=

5

5

，則PE的最小值為

5

5

∴

5

5

≤EP≤

10

，
∵EP為整數(shù)，即EP=1，2，3，
結(jié)合圖形可知PE=1時有兩個點，
所以PE長為整數(shù)的點P個數(shù)為4個．

點評：本題考查了勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形外角定義，如果兩個三角形兩組對應(yīng)邊成比例，且夾角相等則兩三角形相似．