Question

△ABC為等邊三角形，邊長(zhǎng)為a，DF⊥AB，EF⊥AC，
（1）求證：△BDF∽△CEF；
（2）若a=4，設(shè)BF=m，四邊形ADFE面積為S，求出S與m之間的函數(shù)關(guān)系，并探究當(dāng)m為何值時(shí)S取最大值；
（3）已知A、D、F、E四點(diǎn)共圓，已知tan∠EDF=

3

2

，求此圓直徑．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題,二次函數(shù)的最值,等邊三角形的性質(zhì),圓周角定理,解直角三角形

專題：綜合題,探究型

分析：（1）只需找到兩組對(duì)應(yīng)角相等即可．
（2）四邊形ADFE面積S可以看成△ADF與△AEF的面積之和，借助三角函數(shù)用m表示出AD、DF、AE、EF的長(zhǎng)，進(jìn)而可以用含m的代數(shù)式表示S，然后通過(guò)配方，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題，就可以解決問(wèn)題．
（3）易知AF就是圓的直徑，利用圓周角定理將∠EDF轉(zhuǎn)化為∠EAF．在△AFC中，知道tan∠EAF、∠C、AC，通過(guò)解直角三角形就可求出AF長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵DF⊥AB，EF⊥AC，
∴∠BDF=∠CEF=90°．
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°．
∵∠BDF=∠CEF，∠B=∠C，
∴△BDF∽△CEF．

（2）∵∠BDF=90°，∠B=60°，
∴sin60°=

DF

BF

=

3

2

，cos60°=

BD

BF

=

1

2

．
∵BF=m，
∴DF=

3

2

m，BD=

m

2

．
∵AB=4，
∴AD=4-

m

2

．
∴S_△ADF=

1

2

AD•DF
=

1

2

×（4-

m

2

）×

3

2

m
=-

3

8

m²+

3

m．
同理：S_△AEF=

1

2

AE•EF
=

1

2

×（4-

4-m

2

）×

3

2

（4-m）
=-

3

8

m²+2

3

．
∴S=S_△ADF+S_△AEF
=-

3

4

m²+

3

m+2

3

=-

3

4

（m²-4m-8）
=-

3

4

（m-2）²+3

3

．其中0＜m＜4．
∵-

3

4

＜0，0＜2＜4，
∴當(dāng)m=2時(shí)，S取最大值，最大值為3

3

．
∴S與m之間的函數(shù)關(guān)系為：
S═-

3

4

（m-2）²+3

3

（其中0＜m＜4）．
當(dāng)m=2時(shí)，S取到最大值，最大值為3

3

．

（3）如圖2，
∵A、D、F、E四點(diǎn)共圓，
∴∠EDF=∠EAF．
∵∠ADF=∠AEF=90°，
∴AF是此圓的直徑．
∵tan∠EDF=

3

2

，
∴tan∠EAF=

3

2

．
∴

EF

EA

=

3

2

．
∵∠C=60°，
∴

EF

EC

=tan60°=

3

．
設(shè)EC=x，則EF=

3

x，EA=2x．
∵AC=a，
∴2x+x=a．
∴x=

a

3

．
∴EF=

3

3

a，AE=

2

3

a．
∵∠AEF=90°，
∴AF=

AE2+EF2

=

7

3

a．
∴此圓直徑長(zhǎng)為

7

3

a．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定、二次函數(shù)的最值、三角函數(shù)、解直角三角形、圓周角定理、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)．利用圓周角定理將條件中的圓周角轉(zhuǎn)化到合適的位置是解決最后一小題的關(guān)鍵．