如圖①,已知等腰梯形ABCD的周長為48,面積為S,AB∥CD,∠ADC=60°,設(shè)AB=3x.
(1)用x表示AD和CD;
(2)用x表示S,并求S的最大值;
(3)如圖②,當(dāng)S取最大值時,等腰梯形ABCD的四個頂點都在⊙O上,點E和點F分別是AB和CD的中點,求⊙O的半徑R的值.
(1)AD=18-2x,CD=16+x;(2)S=-2(x-2)2+72,當(dāng)x=2時,S有最大值72;(3)R=2

試題分析:(1)作AH⊥CD于H,BG⊥CD于G,如圖①,易得四邊形AHGB為矩形,則HG=AB=3x,再根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得AD=BC,DH=CG,在Rt△ADH中,設(shè)DH=t,根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得AD=2t,AH=t,然后根據(jù)等腰梯形ABCD的周長為48得3x+2t+t+3x+t+2t=48,解得t=8-x,于是可得AD=18-2x,CD=16+x;
(2)根據(jù)梯形的面積公式計算可得到S=-2x2+8x+64,再進行配方得S=-2(x-2)2+72,然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解;
(3)連結(jié)OA、OD,如圖②,由(2)得到x=2時,則AB=6,CD=18,等腰梯形的高為6,所以AE=3,DF=9,由于點E和點F分別是AB和CD的中點,根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得直線EF為等腰梯形ABCD的對稱軸,所以EF垂直平分AB和CD,EF為等腰梯形ABCD的高,即EF=6,根據(jù)垂徑定理的推論得等腰梯形ABCD的外接圓的圓心O在EF上,設(shè)OE=a,則OF=6-a,在Rt△AOE中,利用勾股定理得a2+32=R2,在Rt△ODF中,利用勾股定理得(6-a)2+92=R2,然后消去R得到a的方程a2+32=(6-a)2+92,解得a=5,最后利用R2=(52+32求解.
試題解析:(1)作AH⊥CD于H,BG⊥CD于G,如圖①,

則四邊形AHGB為矩形,
∴HG=AB=3x,
∵四邊形ABCD為等腰梯形,
∴AD=BC,DH=CG,
在Rt△ADH中,設(shè)DH=t,
∵∠ADC=60°,
∴∠DAH=30°,
∴AD=2t,AH=t,
∴BC=2t,CG=t,
∵等腰梯形ABCD的周長為48,
∴3x+2t+t+3x+t+2t=48,解得t=8-x,
∴AD=2(8-x)=18-2x,
CD=8-x+3x+8-x=16+x;
(2)S=(AB+CD)•AH
=(3x+16+x)•(8-x)
=-2x2+8x+64
∵S=-2(x-2)2+72,
∴當(dāng)x=2時,S有最大值72
(3)連結(jié)OA、OD,如圖②,

當(dāng)x=2時,AB=6,CD=16+2=18,等腰梯形的高為×(8-2)=6,
則AE=3,DF=9,
∵點E和點F分別是AB和CD的中點,
∴直線EF為等腰梯形ABCD的對稱軸,
∴EF垂直平分AB和CD,EF為等腰梯形ABCD的高,即EF=6
∴等腰梯形ABCD的外接圓的圓心O在EF上,
設(shè)OE=a,則OF=6-a,
在Rt△AOE中,
∵OE2+AE2=OA2,
∴a2+32=R2
在Rt△ODF中,
∵OF2+DF2=OD2
∴(6-a)2+92=R2,
∴a2+32=(6-a)2+92,解得a=5,
∴R2=(52+32=84,
∴R=2
【考點】圓的綜合題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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今年5月1日起實施《青海省保障性住房準(zhǔn)入分配退出和運營管理實施細(xì)則》規(guī)定:公共租賃住房和廉租住房并軌運行(以下簡稱并軌房),計劃10年內(nèi)解決低收入人群住房問題.已知第x年(x為正整數(shù))投入使用的并軌房面積為y百萬平方米,且y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=-x+5.由于物價上漲等因素的影響,每年單位面積租金也隨之上調(diào).假設(shè)每年的并軌房全部出租完,預(yù)計第x年投入使用的并軌房的單位面積租金z與時間x滿足一次函數(shù)關(guān)系如下表:
時間x(單位:年,x為正整數(shù))
1
2
3
4
5

單位面積租金z(單位:元/平方米)
50
52
54
56
58
 
 
(1)求出z與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)設(shè)第x年政府投入使用的并軌房收取的租金為W百萬元,請問政府在第幾年投入使用的并軌房收取的租金最多,最多為多少百萬元?

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如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個交點為A(3,0),與y軸的交點為B(0,3),其頂點為C,對稱軸為x=1.
(1)求拋物線的解析式;
(2)已知點M為y軸上的一個動點,當(dāng)△ABM為等腰三角形時,求點M的坐標(biāo);
(3)將△AOB沿x軸向右平移m個單位長度(0<m<3)得到另一個三角形,將所得的三角形與△ABC重疊部分的面積記為S,用m的代數(shù)式表示S.

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如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形的邊軸上,且,直線經(jīng)過點,交軸于點
(1)點、的坐標(biāo)分別是       ),       );
(2)求頂點在直線上且經(jīng)過點的拋物線的解析式;
(3)將(2)中的拋物線沿直線向上平移,平移后的拋物線交軸于點,頂點為點.求出當(dāng)時拋物線的解析式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=x2-4x-5的圖象并回答問題:
(1)令y=0,可得拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為______
(2)令x=0,可得拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為______
(3)把函數(shù)y=x2-4x-5配方得y=______可知拋物線開口______,對稱軸為______,頂點坐標(biāo)為
(4)觀察圖象,當(dāng)x______時y隨x的增大而______,
當(dāng)x______時y隨x的增大而______,
當(dāng)x=______時,函數(shù)有最______值y=______
(5)觀察圖象,當(dāng)y>0時,x取值范圍是______
(6)觀察圖象,不等式x2-4x-5<0的解集是______.

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下列函數(shù)中屬于二次函數(shù)的是(  )
A.y=x(x+1)B.x2y=1
C.y=2x2-2(x2+1)D.y=
3x2+1

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A.y軸B.直線x=﹣1C.直線x=1D.直線x=﹣3

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同步練習(xí)冊答案