Question

【題目】我們知道，經過原點的拋物線可以用y=ax2+bx（a≠0）表示，對于這樣的拋物線：
（1）當拋物線經過點（﹣2，0）和（﹣1，3）時，求拋物線的表達式；
（2）當拋物線的頂點在直線y=﹣2x上時，求b的值；
（3）如圖，現有一組這樣的拋物線，它們的頂點A1、A2、…，An在直線y=﹣2x上，橫坐標依次為﹣1，﹣2，﹣3，…，﹣n（n為正整數，且n≤12），分別過每個頂點作x軸的垂線，垂足記為B1、B2 ， …，Bn ， 以線段AnBn為邊向左作正方形AnBnCnDn ， 如果這組拋物線中的某一條經過點Dn ， 求此時滿足條件的正方形AnBnCnDn的邊長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=ax2+bx經過點（﹣2，0）和（﹣1，3），

∴ ，解得 ，

∴拋物線的表達式為y=﹣3x2﹣6x；

（2）解：∵拋物線y=ax2+bx的頂點坐標是（﹣ ，﹣ ），且該點在直線y=﹣2x上，

∴﹣ =﹣2×（﹣ ），

∵a≠0，∴﹣b2=4b，

解得b1=﹣4，b2=0；

（3）解：這組拋物線的頂點A1、A2、…，An在直線y=﹣2x上，

由（2）可知，b=4或b=0．

①當b=0時，拋物線的頂點在坐標原點，不合題意，舍去；

②當b=﹣4時，拋物線的表達式為y=ax2﹣4x．

由題意可知，第n條拋物線的頂點為An（﹣n，2n），則Dn（﹣3n，2n），

∵以An為頂點的拋物線不可能經過點Dn，設第n+k（k為正整數）條拋物線經過點Dn，此時第n+k條拋物線的頂點坐標是An+k（﹣n﹣k，2n+2k），

∴﹣ =﹣n﹣k，∴a= =﹣ ，

∴第n+k條拋物線的表達式為y=﹣ x2﹣4x，

∵Dn（﹣3n，2n）在第n+k條拋物線上，

∴2n=﹣ ×（﹣3n）2﹣4×（﹣3n），解得k= n，

∵n，k為正整數，且n≤12，

∴n1=5，n2=10．

當n=5時，k=4，n+k=9；

當n=10時，k=8，n+k=18＞12（舍去），

∴D5（﹣15，10），

∴正方形的邊長是10．

【解析】由已知條件把點（-2，0）和（-1，3）分別代入y=ax2+bx，得到關于a、b的二元一次方程組，解方程組即可得到所求結論；
（2）根據二次函數的性質，得出拋物線y=ax2+bx的頂點坐標是代入，y=-2x，進行計算求值即可；
（3）由于這組拋物線的頂點A1、A2、…，An在直線y=-2x上，根據（2）的結論可知，b=-4或b=0．①當b=0時，不合題意舍去；②當b=-4時，拋物線的表達式為y=ax2-4x．由題意可知，第n條拋物線的頂點為An（-n，2n），則Dn（-3n，2n），因為以An為頂點的拋物線不可能經過點Dn，設第n+k（k為正整數）條拋物線經過點Dn，此時第n+k條拋物線的頂點坐標是An+k（-n-k，2n+2k），通過代入求值即可得到正方形的邊長.