【題目】如圖,將拋物線M1:y=ax2+4x向右平移3個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位,得到拋物線M2,直線y=x與M1的一個(gè)交點(diǎn)記為A,與M2的一個(gè)交點(diǎn)記為B,點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是﹣3.
(1)求a的值及M2的表達(dá)式;
(2)點(diǎn)C是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)C作x軸的垂線,垂足為D,在CD的右側(cè)作正方形CDEF.
①當(dāng)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2時(shí),直線y=x+n恰好經(jīng)過正方形CDEF的頂點(diǎn)F,求此時(shí)n的值;
②在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過程中,若直線y=x+n與正方形CDEF始終沒有公共點(diǎn),求n的取值范圍(直接寫出結(jié)果).
【答案】(1)M2的頂點(diǎn)為(1,﹣1),M2的表達(dá)式為y=x2﹣2x;(2)①n=﹣2;②n>3,n<﹣6.
【解析】
(1)將點(diǎn)A橫坐標(biāo)代入y=x,即可得出點(diǎn)A縱坐標(biāo),從而得出點(diǎn)A的坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)A在拋物線M1:y=ax2+4x上,代入即可得出a的值,將拋物線M1化為頂點(diǎn)式,根據(jù)平移的原則即可得出拋物線M2;
(2)①把點(diǎn)C橫坐標(biāo)代入y=x,即可得出點(diǎn)C坐標(biāo),從而得出點(diǎn)F坐標(biāo),把點(diǎn)F代入y=x+n即可得出n的值;
②根據(jù)直線y=x+n與正方形CDEF始終沒有公共點(diǎn),直接可得出n的取值范圍.
(1)∵點(diǎn)A在直線y=x,且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是﹣3,
∴A(﹣3,﹣3),
把A(﹣3,﹣3)代入y=ax2+4x,
解得a=1,
∴M1:y=x2+4x,頂點(diǎn)為(﹣2,﹣4),
∴M2的頂點(diǎn)為(1,﹣1),
∴M2的表達(dá)式為y=x2﹣2x;
(2)①由題意,C(2,2),
∴F(4,2),
∵直線y=x+n經(jīng)過點(diǎn)F,
∴2=4+n,
解得n=﹣2;
②將y=x代入y=x2﹣2x,得
x2﹣2x=x,解得:x1=0,x2=3,
∴點(diǎn)B(3,3),
當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-3,0),
此時(shí)有-3+n=0,解得:n=3;
當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合時(shí),點(diǎn)E的坐標(biāo)為(6,0),
此時(shí)有6+n=0,解得:n=-6,
綜上可知,當(dāng)直線y=x+n與正方形CDEF始終沒有公共點(diǎn)時(shí),n>3或n<﹣6.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+3的圖象分別交x軸、y軸于點(diǎn)B、點(diǎn)C,與反比例函數(shù)的圖象在第四象限的相交于點(diǎn)P,并且PA⊥y軸于點(diǎn)A,已知A (0,﹣6),且S△CAP=18.
(1)求上述一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)設(shè)Q是一次函數(shù)y=kx+3圖象上的一點(diǎn),且滿足△OCQ的面積是△BCO面積的2倍,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC為菱形,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,0),∠AOC=60°,垂直于x軸的直線l從y軸出發(fā),沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng),設(shè)直線l與菱形OABC的兩邊分別交于點(diǎn)M、N(點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方).
(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)設(shè)△OMN的面積為S,直線l運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0≤t≤6),試求S與t的函數(shù)表達(dá)式;
(3)在題(2)的條件下,是否存在某一時(shí)刻,使得△OMN的面積與OABC的面積之比為3:4?如果存在,請(qǐng)求出t的取值;如果不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在一筆直的海岸線l上有A、B兩個(gè)碼頭,A在B的正東方向,一艘小船從A碼頭沿它的北偏西60°的方向行駛了20海里到達(dá)點(diǎn)P處,此時(shí)從B碼頭測(cè)得小船在它的北偏東45°的方向.求此時(shí)小船到B碼頭的距離(即BP的長(zhǎng))和A、B兩個(gè)碼頭間的距離(結(jié)果都保留根號(hào)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)D作DE∥AC且DE=AC,連接AE交OD于點(diǎn)F,連接CE、OE.
(1)求證:OE=CD;
(2)若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,∠ABC=60°,求AE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平行四邊形ABCD中,以AB為邊作等邊△ABE,點(diǎn)E在CD上,以BC為邊作等邊△BCF,點(diǎn)F在AE上,點(diǎn)G在BA延長(zhǎng)線上且FG=FB.
(1)若CD=6,AF=3,求△ABF的面積;
(2)求證:BE=AG+CE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線(是常數(shù))經(jīng)過點(diǎn).
(1)求該拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)P(m,t)為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為.
①當(dāng)點(diǎn)落在該拋物線上時(shí),求的值;
②當(dāng)點(diǎn)落在第二象限內(nèi),取得最小值時(shí),求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,把可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的圓形轉(zhuǎn)盤A,B分別分成3等份的扇形區(qū)域,并在每一個(gè)小區(qū)域內(nèi)標(biāo)上數(shù)字.小明和小穎兩個(gè)人玩轉(zhuǎn)盤游戲,游戲規(guī)則是:同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤,當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時(shí),若指針兩區(qū)域的數(shù)字均為奇數(shù),則小明勝;若指針兩區(qū)域的數(shù)字均為偶數(shù),則小穎勝;若有指針落在分割線上,則無效,需重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤.這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)雙方公平嗎?請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圖為放置在水平桌面上的臺(tái)燈的平面示意圖,可伸縮式燈臂AO長(zhǎng)為40 cm,與水平面所形成的夾角∠OAM恒為75°(不受燈臂伸縮的影響).由光源0射出的光線沿?zé)粽中纬晒饩OC,OB,與水平面所形成的夾角∠OCA,∠OBA分別為90°和30°.
(1)求該臺(tái)燈照亮桌面的寬度BC.(不考慮其他因素,結(jié)果精確到1 cm,參考數(shù)據(jù):sin75°≈0.97,cos75°≈0.26, ≈1.73)
(2)若燈臂最多可伸長(zhǎng)至60 cm,不調(diào)整燈罩的角度,能否讓臺(tái)燈照亮桌面85 cm的寬度?
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