Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象過(guò)點(diǎn)M（-2，

3

），頂點(diǎn)坐標(biāo)為N（-1，

4 3

3

），且與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在直線AC上是否存在一點(diǎn)Q，使△QBM的周長(zhǎng)最小？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）先由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為N（-1，

4 3

3

），可設(shè)其解析式為y=a（x+1）²+

4 3

3

，再將M（-2，

3

）代入，得

3

=a（-2+1）²+

4 3

3

，解方程求出a的值即可得到拋物線的解析式；
（2）先求出拋物線y=-

3

3

x²-

2 3

3

x+

3

與x軸交點(diǎn)A、B，與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理得到BC=

OB2+OC2

=2

3

．設(shè)P（-1，m），當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)分三種情況進(jìn)行討論：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；
（3）先由勾股定理的逆定理得出BC⊥AC，連結(jié)BC并延長(zhǎng)至B′，使B′C=BC，連結(jié)B′M，交直線AC于點(diǎn)Q，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知此時(shí)△QBM的周長(zhǎng)最小，由B（-3，0），C（0，

3

），根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出B′（3，2

3

），再運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線MB′的解析式為y=

3

5

x+

7 3

5

，直線AC的解析式為y=-

3

x+

3

，然后解方程組

y= 3 5 x+ 7 3 5 y=- 3 x+ 3

，即可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為N（-1，

4 3

3

），可設(shè)其解析式為y=a（x+1）²+

4 3

3

，
將M（-2，

3

）代入，得

3

=a（-2+1）²+

4 3

3

，
解得a=-

3

3

，
故所求拋物線的解析式為y=-

3

3

x²-

2 3

3

x+

3

；

（2）∵y=-

3

3

x²-

2 3

3

x+

3

，
∴x=0時(shí)，y=

3

，
∴C（0，

3

）．
y=0時(shí)，-

3

3

x²-

2 3

3

x+

3

=0，
解得x=1或x=-3，
∴A（1，0），B（-3，0），
∴BC=

OB2+OC2

=2

3

．
設(shè)P（-1，m），
當(dāng)CP=CB時(shí)，有CP=

1+(m- 3 )2

=2

3

，解得m=

3

±

11

；
當(dāng)BP=BC時(shí)，有BP=

(-1+3)2+m2

=2

3

，解得m=±2

2

；
當(dāng)PB=PC時(shí)，

(-1+3)2+m2

=

1+(m- 3 )2

，解得m=0，
綜上，當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，

3

+

11

），（-1，

3

-

11

），（-1，2

2

），（-1，-2

2

），（-1，0）；

（3）由（2）知BC=2

3

，AC=2，AB=4，
所以BC²+AC²=AB²，即BC⊥AC．
連結(jié)BC并延長(zhǎng)至B′，使B′C=BC，連結(jié)B′M，交直線AC于點(diǎn)Q，
∵B、B′關(guān)于直線AC對(duì)稱，
∴QB=QB′，
∴QB+QM=QB′+QM=MB′，
所以此時(shí)△QBM的周長(zhǎng)最�。�
由B（-3，0），C（0，

3

），易得B′（3，2

3

）．
設(shè)直線MB′的解析式為y=kx+n，
將M（-2，

3

），B′（3，2

3

）代入，
得

-2k+n= 3 3k+n=2 3

，解得

k= 3 5 n= 7 3 5

，
即直線MB′的解析式為y=

3

5

x+

7 3

5

．
同理可求得直線AC的解析式為y=-

3

x+

3

．
由

y= 3 5 x+ 7 3 5 y=- 3 x+ 3

，解得

x=- 1 3 y= 4 3 3

，即Q（-

1

3

，

4 3

3

）．
所以在直線AC上存在一點(diǎn)Q（-

1

3

，

4 3

3

），使△QBM的周長(zhǎng)最�。�

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，等腰三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，兩函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)的求法等知識(shí)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．