Question

如圖，已知直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)C，對(duì)稱(chēng)軸為直線l：，該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P在直線l上，求出使△PAC的周長(zhǎng)最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M在此拋物線上，點(diǎn)N在y軸上，以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，直接寫(xiě)出所有滿足要求的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）此拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）（x+3）=﹣x²﹣2x+3；
（2）P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，2）；
（3）M點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，3）或（﹣4，﹣5）或（4，﹣21）．

解析試題分析：（1）根據(jù)拋物線的交點(diǎn)式可求此拋物線的解析式；
（2）直線BC與對(duì)稱(chēng)軸直線l：x=﹣1的交點(diǎn)即為所求使△PAC的周長(zhǎng)最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）討論：當(dāng)以AB為對(duì)角線，利用NA=MB和四邊形ANBM為平行四邊形，則可確定M的橫坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式得到M點(diǎn)的縱坐標(biāo)；當(dāng)以AB為邊時(shí)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到MN=AB=4，則可確定M的橫坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式得到M點(diǎn)的縱坐標(biāo)．
試題解析：（1）直線y=﹣3x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，
當(dāng)y=0時(shí)，﹣3x+3=0，解得x=1，
則A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）；
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
則C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）；
拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=﹣1，
則B點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，0）；
把C（0，3）代入y=a（x﹣1）（x+3）得3=﹣3a，
解得a=﹣1，
則此拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）（x+3）=﹣x²﹣2x+3；
（2）連接BC，交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P，如圖1，

設(shè)直線BC的關(guān)系式為：y=mx+n，
把B（﹣3，0），C（0，3）代入y=mx+n得，
解得，
∴直線bC的關(guān)系式為y=x+3，
當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=﹣1+3=2，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，2）；
（3）當(dāng)以AB為對(duì)角線，如圖2，

∵四邊形AMBN為平行四邊形，
A點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，N點(diǎn)橫坐標(biāo)為0，B點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣3，
∴M點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣2，
∴M點(diǎn)縱坐標(biāo)為y=﹣4+4+3=3，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，3）；
當(dāng)以AB為邊時(shí)，如圖3，

∵四邊形ABMN為平行四邊形，
∴MN=AB=4，即M₁N=4，M₂N=4，
∴F₁的橫坐標(biāo)為﹣4，F(xiàn)₂的橫坐標(biāo)為4，
對(duì)于y=﹣x²﹣2x+3，
當(dāng)x=﹣4時(shí)，y=﹣16+8+3=﹣5；
當(dāng)x=4時(shí)，y=﹣16﹣8+3=﹣21，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，﹣5）或（4，﹣21）．
綜上所述，M點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，3）或（﹣4，﹣5）或（4，﹣21）．
考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．