Question

【題目】（1）如圖（1），在平行四邊形ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分別為E、F，求證：AE=CF；

（2）如圖（2），在平行四邊形ABCD中，AC、BD是兩條對角線，求證AC2+BD2=2（AB2+BC2）

（3）如圖（3），PQ是△PMN的中線，若PM=11，PN=13，MN=10，求出PQ的長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）2

【解析】

（1）利用平行四邊形的性質(zhì)，判定Rt△AED≌Rt△CFB，即可得到AE=CF；

（2）分別過A，D作AE⊥BC交CB延長線于E，DF⊥BC于F．根據(jù)勾股定理可得：AC2=AE2+（BE+BC）2①，AE2=AB2-BE2②，BD2=DF2+（BC-CF）2③，DF2=DC2-CF2④，②代①，④代③，兩式相加即可得到結論；

（3）延長PQ至R，使得QR=PQ，連接RM，RN，依據(jù)四邊形NPMR是平行四邊形，利用結論MN2+PR2=2（NP2+MP2），即可得出PQ的長．

解：（1）∵平行四邊形ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，

∴AD=CB，DE=BF，∠AED=∠CFB=90°，

在Rt△AED≌Rt△CFB中,

,

∴Rt△AED≌Rt△CFB（HL），

∴AE=CF；

（2）如圖（2），分別過A，D作AE⊥BC交CB延長線于E，DF⊥BC于F．

根據(jù)勾股定理可得：AC2=AE2+（BE+BC ）2 ①，AE2=AB2-BE2②，

BD2=DF2 +（BC-CF）2 ③，DF2=DC2-CF2 ④，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=DC，

又∵AE⊥BC，DF⊥BC，

∴∠AEB=∠DFC=90°，AE=DF，

∴Rt△AEB≌Rt△DFC（HL），

∴BE=CF，而AB=DC，

把②代①，④代③，可得：

AC2=AB2 -BE2 +（BE+BC）2

BD2=DC2 -CF2+（BC-CF）2

兩式相加，可得：AC2 +BD2=2（AB2 +BC2）；

（3）如圖（3），延長PQ至R，使得QR=PQ，連接RM，RN，

∵PQ是△PMN的中線，

∴NQ=MQ，

∴四邊形NPMR是平行四邊形，

由（2）可得，MN2 +PR2=2（NP2 +MP2），

又∵PM=11，PN=13，MN=10，

∴102 +（2PQ）2=2（132+112），

解得PQ=2．