Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，以點O為圓心的圓分別交x軸的正半軸于點M，交y軸的正半軸于點N．劣弧的長為，直線與x軸、y軸分別交于點A、B．

（1）求證：直線AB與⊙O相切；

（2）求圖中所示的陰影部分的面積（結果用π表示）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題（1）作OD⊥AB于D，由弧長公式和已知條件求出半徑OM=，由直線解析式求出點A和B的坐標，得出OA=3，OB=4，由勾股定理求出AB=5，再由△AOB面積的計算方法求出OD，即可得出結論；

（2）陰影部分的面積=△AOB的面積﹣扇形OMN的面積，即可得出結果．

試題解析：（1）證明：作OD⊥AB于D，如圖所示：

∵劣弧的長為，∴=，解得：OM=，即⊙O的半徑為，∵直線與x軸、y軸分別交于點A、B，當y=0時，x=3；當x=0時，y=4，∴A（3，0），B（0，4），∴OA=3，OB=4，∴AB==5，∵△AOB的面積=ABOD=OAOB，∴OD===半徑OM，∴直線AB與⊙O相切；

（2）解：圖中所示的陰影部分的面積=△AOB的面積﹣扇形OMN的面積==．