Question

已知二次函數(shù)y=（m-1）x²+（m-3）x-2 （m為常數(shù)，且m≠1）．
（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有交點；
（2）當函數(shù)圖象的對稱軸為x=1時，把拋物線向上平移，使得頂點落在x軸上，求此時拋物線與y軸的交點；
（3）在（2）的情況下，直接寫出兩條拋物線、對稱軸和y軸圍成的圖形的面積．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點,二次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：

分析：（1）首先利用根的判別式進而得出△=（m+1）²≥0，即可得出答案；
（2）首先表示出拋物線的對稱軸，進而得出m的值，再利用配方法求出拋物線頂點坐標即可；
（3）根據(jù)題意得出圍成部分面積利用平移轉(zhuǎn)化成：四邊形PQMN的面積求出即可．

解答：（1）證明：∵（m-1）x²+（m-3）x-2=0，
△=（m+1）²≥0，
∴不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有交點；

（2）解：∵-

b

2a

=

3-m

2(m-1)

=1，
解得：m=

5

3

，
∴y=

2

3

x²-

4

3

x-2=

2

3

（x-1）²-

8

3

，
∴N（0，-2），
∴頂點M（1，-

8

3

），
∴P（0，

2

3

）；

（3）解：由題意可得出：Q（1，0），
圍成部分面積利用平移轉(zhuǎn)化成：四邊形PQMN的面積，
∴兩條拋物線、對稱軸和y軸圍成的圖形的面積為：1×

8

3

=

8

3

．

點評：此題主要考查了拋物線與x軸的交點以及二次函數(shù)圖象與幾何變換等知識，得出圍成部分面積利用平移轉(zhuǎn)化成：四邊形PQMN的面積是解題關(guān)鍵．