Question

如圖，已知點(diǎn)O為Rt△ABC斜邊AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓與BC相切于點(diǎn)D，與AB相交于點(diǎn)E．


（1）試判斷AD是否平分∠BAC？并說明理由．
（2）若BD=3BE，CD=3，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）判斷：AD平分∠BAC．
證明：
證法一：連接OD；
∵BC切⊙O于D，
∴OD⊥BC，
又△ABC為Rt△，且∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∴OD∥AC，
∴∠1=∠2；
又∵OA=OD，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3．

證法二：連接ED；
∵AE是⊙O直徑，
∴∠ADE=90°，
∴∠3+∠AED=90°；
又∵∠C=90°，
∴∠1+∠ADC=90°，
又∵∠AED=∠ADC，
∴∠1=∠3．



證法三：連接EF，DF；
∵AE是⊙O直徑，
∴∠AFE=90°，
又∵∠ACE=90°，
∴∠AFE=∠ACB，
∴EF∥BC，
∴∠4=∠5；
又∵∠3=∠4，∠1=∠5，
∴∠1=∠3．

（2）
解法一：設(shè)BE=x，則BD=3BE=3x，
據(jù)切割線定理得BD²=BE×BA，
得AB=9x，OA=OE=4x；
又∵OD∥AC，
∴

OB

OA

=

BD

CD

，即：

5x

4x

=

3x

3

，
∴x=

5

4

，
∴⊙O的半徑為5．

解法二：
如圖，過O作OG⊥AC，又AC⊥BC，OD⊥BC，
則四邊形ODCG為矩形．
∴OG=CD=3，OG∥BC；
又OG∥BC，
∴

OG

BC

=

OA

AB

，
∴

3

3x+3

=

4x

9x

，
∴x=

5

4

，x=0，（舍去）
∴⊙O的半徑為5．
備注：本解法是在解法一得AB=9x，OA=OE=4x的基礎(chǔ)上進(jìn)行的．