【題目】已知拋物線C1:y=ax2+4ax+4a+b(a≠0,b>0)的頂點(diǎn)為M,經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O且與x軸另一交點(diǎn)為A.
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)若△AMO為等腰直角三角形,求拋物線C1的解析式;
(3)現(xiàn)將拋物線C1繞著點(diǎn)P(m,0)旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C2,若拋物線C2的頂點(diǎn)為N,當(dāng)b=1,且頂點(diǎn)N在拋物線C1上時(shí),求m的值.
【答案】(1)、(-4,0);(2)、y=﹣x2﹣2x;(3)、m=﹣2+或﹣2﹣
【解析】
試題分析:(1)、由拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)可知當(dāng)x=0時(shí),y=0,由此可得關(guān)于x的一元二次方程,解方程即可求出拋物線x軸另一交點(diǎn)坐標(biāo);(2)、由△AMO為等腰直角三角形,拋物線的頂點(diǎn)為M,可求出b的值,再把原點(diǎn)坐標(biāo)(0,0)代入求出a的值,即可求出拋物線C1的解析式;(3)、由b=1,易求線拋物線C1的解析式,設(shè)N(n,﹣1),再由點(diǎn)P(m,0)可求出n和m的關(guān)系,當(dāng)頂點(diǎn)N在拋物線C1上可把N的坐標(biāo)代入拋物線即可求出m的值.
試題解析:(1)、∵拋物線C1:y=ax2+4ax+4a+b(a≠0,b>0)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O, ∴0=4a+b,
∴當(dāng)ax2+4ax+4a+b=0時(shí),則ax2+4ax=0, 解得:x=0或﹣4,∴拋物線與x軸另一交點(diǎn)A坐標(biāo)是(﹣4,0);
(2)、∵拋物線C1:y=ax2+4ax+4a+b=a(x+2)2+b(a≠0,b>0),(如圖1) ∴頂點(diǎn)M坐標(biāo)為(﹣2,b),
∵△AMO為等腰直角三角形, ∴b=2, ∵拋物線C1:y=ax2+4ax+4a+b=a(x+2)2+b過(guò)原點(diǎn),
∴a(0+2)2+2=0, 解得:a=﹣, ∴拋物線C1:y=﹣x2﹣2x;
(3)、∵b=1,拋物線C1:y=ax2+4ax+4a+b=a(x+2)2+b過(guò)原點(diǎn),(如圖2) ∴a=﹣,
∴y=﹣(x+2)2+1=﹣x2﹣x, 設(shè)N(n,﹣1),又因?yàn)辄c(diǎn)P(m,0), ∴n﹣m=m+2,
∴n=2m+2 即點(diǎn)N的坐標(biāo)是(2m+2,﹣1), ∵頂點(diǎn)N在拋物線C1上, ∴﹣1=﹣(2m+2+2)2+1,
解得:m=﹣2+或﹣2﹣.
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