【題目】如圖,在平面直角坐標系中,ABC是直角三角形,ACB=90,AC=BC,OA=1,OC=4,拋物線y=+bx+c經過A,B兩點,拋物線的頂點為D.

(1)、求b,c的值;

(2)、點E是直角三角形ABC斜邊AB上一動點(點A、B除外),過點E作x軸的垂線交拋物線于點F,當線段EF的長度最大時,求點E的坐標;

(3)、在(2)的條件下:求以點E、B、F、D為頂點的四邊形的面積;在拋物線上是否存在一點P,使EFP是以EF為直角邊的直角三角形? 若存在,求出所有點P的坐標;若不存在,說明理由.

【答案】(1)、b=-2;c=-3;(2)、(,);(3)、;,

【解析】

試題分析:(1)、根據題意求出點A、點B的坐標,然后代入解析式求出b、c的值;(2)、射線求出直線AB的解析式,設出點E和F的坐標,求出EF的長度,然后根據函數(shù)的性質求出最值;(3)、首先求出點D和點F的坐標,將四邊形的面積轉化成BEF和DEF進行求解;過點E作aEF交拋物線與點P,設出點P的坐標,解出方程;過F作bEF交拋物線與點P,設出點P的坐標,解出方程.

試題解析:(1)由已知得:A(-1,0) B(4,5)二次函數(shù)y=+bx+c的圖像經過點A(-1,0)B(4,5)

解得:b=-2 c=-3

(2)、如圖:直線AB經過點A(-1,0) B(4,5) 直線AB的解析式為:y=x+1

二次函數(shù)y=-2x-3 設點E(t,t+1),則F(t,-2t-3)

EF=(t+1)-(-2t-3)=

時,EF的最大值= 點E的坐標為(

如圖:

順次連接點E、B、F、D得四邊形EBFD.

可求出點F的坐標(,),點D的坐標為(1,-4)

S=S+S

== /p>

如圖:)過點E作aEF交拋物線于點P,設點P(m,)則有:解得:, ,

)過點F作bEF交拋物線于,設(n,)則有:

解得: ,(與點F重合,舍去)

綜上所述:所有點P的坐標:能使EFP組成以EF為直角邊的直角三角形.

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