Question

已知直線y=kx+b與直線y=-3x平行且過(guò)點(diǎn)（3，3）．
（1）求k，b的值；
（2）若直線y=kx+b分別與x，y軸交于點(diǎn)A，B．若點(diǎn)P（x，y）在直線AB上，且△POB為等腰三角形．求出所有符合條件的P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：兩條直線相交或平行問(wèn)題

專題：

分析：（1）根據(jù)直線y=kx+b與直線y=-3x平行且過(guò)點(diǎn)（3，3），直接代入求出k、b的值；
（2）先求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)和OB、OA、AB的長(zhǎng)，再分當(dāng)BP₁=B0時(shí)，當(dāng)BP₂=0P₂時(shí)，當(dāng)BP₃=B0時(shí)，當(dāng)OP₄=B0時(shí)，△POB為等腰三角形四種情況討論，分別進(jìn)行計(jì)算即可求出P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵直線y=kx+b與直線y=-3x平行且過(guò)點(diǎn)（3，3），
∴k=-3，3=3k+b，
∴b=12；
（2）∵直線y=-3x+12分別與x，y軸交于點(diǎn)A，B，
∴點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為：（4，0），（0，12），
∴OB=12，OA=4，
∴AB=4

10

，
如圖；
當(dāng)BP₁=B0時(shí)，△POB為等腰三角形，過(guò)P₁作P₁C⊥x軸，
則

AB

AP1

=

BO

CP1

，

AB

BP1

=

AO

CO

，

4 10

4 10 +12

=

12

CP1

，

4 10

12

=

4

CO

，
CP₁=12+

18

5

10

，CO=

6 10

5

，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-

6 10

5

，12+

18

5

10

）；
當(dāng)BP₂=0P₂時(shí)，△POB為等腰三角形，
則點(diǎn)P₂在OP的垂直平分線上，則點(diǎn)P₂的縱坐標(biāo)是6，橫坐標(biāo)是2，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，6）；
當(dāng)BP₃=B0時(shí)，△POB為等腰三角形，過(guò)P₃作P₃D⊥y軸，
則

BD

BO

=

BP3

BA

=

P3D

AO

，

BD

12

=

12

4 10

=

P3D

4

，
BD=

18 10

5

，P₃D=

9 10

10

，
則OD=12-

18 10

5

，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（

9 10

10

，12-

18 10

5

）；
當(dāng)OP₄=B0時(shí)，△POB為等腰三角形，過(guò)P₄作P₄E⊥y軸，設(shè)P₄點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則P₄E=m，BE=3m，
則m²+（3m-12）²=12²，
解得：m=0（舍去）或m=9，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（9，-15）；
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-

6 10

5

，12+

18

5

10

）、（2，6）、（

9 10

10

，12-

18 10

5

）、（9，-15）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩直線平行問(wèn)題；用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩直線平行、比例系數(shù)相等、勾股定理、平行線分線段成比例定理，注意把點(diǎn)P的所有坐標(biāo)都求出．