【題目】△ABC中,AB=AC,∠A=60°,點D是線段BC的中點,∠EDF=120°,DE與線段AB相交于點E,DF與線段AC(或AC的延長線)相交于點F.

(1)如圖,若DF⊥AC,垂足為F,證明:DE=DF

(2)如圖,將(1)中的∠EDF繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度,DF仍與線段AC相交于點F.DE=DF仍然成立嗎?說明理由。

(3)∠EDF繼續(xù)繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度,使DF與線段AC的延長線相交于點F,DE=DF仍然成立嗎? 直接說出結(jié)論,不必說明理由。

【答案】(1)證明見解析(2)成立 (3)成立

【解析】

(1)證明△ABC是等邊三角形,∠B=∠C,BD=CD,進而證明△BED≌△CFD(ASA),即可證明DE=DF.

(2)取AC中點G,連接DG,證明△EDG≌△FDC(ASA),即可證明結(jié)論仍成立.

(3)過點DDN⊥AC于N,DM⊥AB于M,∠NDF=∠MDE,證明△DME≌△DNF(ASA)即可證明結(jié)論仍成立.

:(1)∵AB=AC,∠A=60°,

∴△ABC是等邊三角形,∠B=∠C=60°,

∵D是BC的中點,

∴BD=CD,

∵∠EDF=120°,DF⊥AC,

∴∠FDC=30°,

∴∠EDB=30°,

∴△BED≌△CFD(ASA),

∴DE=DF.

(2)取AC中點G,連接DG,如下圖,

∵D為BC的中點,

∴DG=AC=BD=CD,

∴△BDG是等邊三角形,

∴∠GDE+∠EDB=60°,

∵∠EDF=120°,

∴∠FDC+∠EDB=60°,

∴∠EDG=∠FDC,

∴△EDG≌△FDC(ASA),

∴DE=DF.

∴結(jié)論仍然成立.

(3)如下圖,過點DDN⊥AC于N,DM⊥AB于M,

∴∠DME=∠DNF=90°,

由(1)可知∠B=∠C=60°,

∴∠NDC=∠BDM=30°,DM=DN,

∴∠MDN=120°,即∠NDF=∠MDE,

∴△DME≌△DNF(ASA),

∴DE=DF,

∴仍然成立.

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