Question

如圖，△ABC的三邊與其內(nèi)切圓分別切于D、E、F三點，在△DEF中，作FG⊥DE，連結(jié)OB、OF、OC．求證：DG•CF=EG•BF．

Answer 1

考點：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：連結(jié)OF，OE，OD，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得OF⊥BC，根據(jù)切線長定理得CE=CF，而OE=OF，則OC垂直平分EF，所以O(shè)C平分∠EOF，即∠FOC=

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∠EOF，利用圓周角定理得∠FDG=

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∠EOF，所以∠FOC=∠GDF，于是可證明Rt△GDF∽Rt△FOC，得到DG：OF=FG：CF，變形得DG•CF=OF•FG，同理可得Rt△GEF∽Rt△FOB，得到EG：OF=FG：BF，變形得EG•BF=OF•FG，所以DG•CF=EG•BF．

解答：證明：連結(jié)OF、OE、OD，如圖，
∵△ABC的三邊與其內(nèi)切圓分別切于D、E、F三點，
∴OF⊥BC，CE=CF，
∴∠OFC=∠OFB=90°，
∵OE=OF，
∴OC垂直平分EF，
∴OC平分∠EOF，
∴∠FOC=

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∠EOF，
∵∠FDG=

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∠EOF，
∴∠FOC=∠GDF，
∵FG⊥DE，
∴∠GDF=90°，
∴Rt△GDF∽Rt△FOC，
∴DG：OF=FG：CF，
∴DG•CF=OF•FG，
同理可得Rt△GEF∽Rt△FOB，
∴EG：OF=FG：BF，
∴EG•BF=OF•FG，
∴DG•CF=EG•BF．

點評：本題考查了三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．