Question

已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點做EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG、CG

（1）求證：EG=CG；
（2）將圖甲中△BEF繞B點旋轉(zhuǎn)45°，如圖乙所示，取DF的中點G，連接EG、CG．問（1）中的結(jié)論是否依然成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；
（3）（2）中的EG與CG互相垂直嗎？為什么？

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證出CG=EG．
（2）結(jié)論仍然成立，連接AG，過G點作MN⊥AD于M，與EF的延長線交于N點；再證明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再證出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再證明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后證出CG=EG．
（3）利用（2）中等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)推知EG與CG互相垂直．

解答：（1）證明：如圖甲，∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DCF=90°，
∵在Rt△FCD中，G為DF的中點，
∴CG=

1

2

FD，
同理，在Rt△DEF中，EG=

1

2

FD，
∴CG=EG．

（2）解：（1）中結(jié)論仍然成立，即EG=CG．
證法一：如圖乙①，連接AG，過G點作MN⊥AD于M，與EF的延長線交于N點．
在△DAG與△DCG中，

AD=CD ∠ADG=∠CDG DG=DG

，
∴△DAG≌△DCG（SAS），
∴AG=CG．
在△DMG與△FNG中，

∠DGM=∠FGN FG=DG ∠MDG=∠NFG

，
∴△DMG≌△FNG（ASA），
∴MG=NG．
∵∠EAM=∠AEN=∠AMN=90°，
∴四邊形AENM是矩形，
∴AM=EN．
在△AMG與△ENG中，

AM=EN ∠AMG=∠ENG MG=NG

，
∴△AMG≌△ENG（SAS），
∴AG=EG，
∴EG=CG．
證法二：延長CG至M，使MG=CG，
連接MF，ME，EC，
在△DCG與△FMG中，

FG=DG ∠MGF=∠CGD MG=CG

，
∴△DCG≌△FMG（SAS）．
∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，
∴MF∥CD∥AB，
∴EF⊥MF．
在Rt△MFE與Rt△CBE中，

MF=CB ∠MFE=∠EBC EF=BE

，
∴△MFE≌△CBE（SAS），
∴∠MEF=∠CEB．
∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，
∴△MEC為直角三角形．
∵MG=CG，
∴EG=

1

2

MC，
∴EG=CG．

（3）（2）中的EG與CG互相垂直．理由如下：
由（2）知，△MEC是等腰直角三角形．
∵G為CM中點，
∴EG⊥CG．

點評：考查了四邊形綜合題，難度較大．作出輔助線是解決的關(guān)鍵．利用了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)．