Question

【題目】如圖1，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)：點(diǎn)C將線(xiàn)段AB分成兩部分，如果，那么稱(chēng)點(diǎn)C為線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)．某校的數(shù)學(xué)拓展性課程班，在進(jìn)行知識(shí)拓展時(shí)，張老師由黃金分割點(diǎn)拓展到“黃金分割線(xiàn)”，類(lèi)似地給出“黃金分割線(xiàn)”的定義：直線(xiàn)l將一個(gè)面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S1，S2，如果，那么稱(chēng)直線(xiàn)l為該圖形的黃金分割線(xiàn)．

如圖2，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠C的平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)D．

（1）證明點(diǎn)D是AB邊上的黃金分割點(diǎn)；

（2）證明直線(xiàn)CD是△ABC的黃金分割線(xiàn)．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析.

【解析】

(1)證明AD=CD=BC,證明△BCD∽△BCA,得到.則有,所以點(diǎn)D是AB邊上的黃金分割點(diǎn);

(2)證明,直線(xiàn)CD是△ABC的黃金分割線(xiàn);

解：(1)點(diǎn)D是AB邊上的黃金分割點(diǎn).理由如下:

AB=AC,∠A=,∠B=∠ACB=.

CD是角平分線(xiàn), ∠ACD=∠BCD=,

∠A=∠ACD,AD=CD.

∠CDB=180-∠B-∠BCD=,

∠CDB=∠B,BC=CD.

BC=AD.

在△BCD與△BCA中, ∠B=∠B,∠BCD=∠A=,

△BCD∽△BCA,

點(diǎn)D是AB邊上的黃金分割點(diǎn).

(2)直線(xiàn)CD是△ABC的黃金分割線(xiàn).理由如下:

設(shè)ABC中,AB邊上的高為h,則

,,,

由（1）得點(diǎn)D是AB邊上的黃金分割點(diǎn)，

，

直線(xiàn)CD是△ABC的黃金分割線(xiàn)