【題目】如圖,已知一次函數(shù)y1=x+b的圖象l與二次函數(shù)y2=﹣x2+mx+b的圖象C′都經(jīng)過點(diǎn)B(0,1)和點(diǎn)C,且圖象C′過點(diǎn)A(2﹣,0).
(1)求二次函數(shù)的最大值;
(2)設(shè)使y2>y1成立的x取值的所有整數(shù)和為s,若s是關(guān)于x的方程=0的根,求a的值;
(3)若點(diǎn)F、G在圖象C′上,長度為的線段DE在線段BC上移動(dòng),EF與DG始終平行于y軸,當(dāng)四邊形DEFG的面積最大時(shí),在x軸上求點(diǎn)P,使PD+PE最小,求出點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1)5;(2);(3)P(,0)
【解析】試題分析: (1)首先利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式,然后求出其最大值;
(2)聯(lián)立y1與y2,求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(, ),因此使y2>y1成立的x的取值范圍為0<x<,得s=1+2+3=6;將s的值代入分式方程,求出a的值;
(3)如圖,四邊形DEFG是一個(gè)梯形,將其面積用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出來,這個(gè)代數(shù)式是一個(gè)二次函數(shù),根據(jù)其最值求出未知數(shù)的值,進(jìn)而得到面積最大時(shí)點(diǎn)D、E的坐標(biāo).
試題解析:
解:(1)∵二次函數(shù)y2=﹣x2+mx+b經(jīng)過點(diǎn)B(0,1)與A(2﹣,0),
∴,
解得,
∴l:y1=x+1;
C′:y2=﹣x2+4x+1.
∵y2=﹣x2+4x+1=﹣(x﹣2)2+5,
∴ymax=5;
(2)聯(lián)立y1與y2得: x+1=﹣x2+4x+1,解得x=0或x=,
當(dāng)x=時(shí),y1=×+1=,
∴C(, ).
使y2>y1成立的x的取值范圍為0<x<,
∴s=1+2+3=6.
代入方程得,
解得a=;
經(jīng)檢驗(yàn)a=是分式方程的解.
(3)∵點(diǎn)D、E在直線l:y1=x+1上,
∴設(shè)D(p, p+1),E(q, q+1),其中q>p>0.
如答圖1,過點(diǎn)E作EH⊥DG于點(diǎn)H,則EH=q﹣p,DH=(q﹣p).
在Rt△DEH中,由勾股定理得:EH2+DH2=DE2,即(q﹣p)2+[(q﹣p)]2=()2,
解得q﹣p=2,即q=p+2.
∴EH=2,E(p+2, p+2).
當(dāng)x=p時(shí),y2=﹣p2+4p+1,
∴G(p,﹣p2+4p+1),
∴DG=(﹣p2+4p+1)﹣(p+1)=﹣p2+p;
當(dāng)x=p+2時(shí),y2=﹣(p+2)2+4(p+2)+1=﹣p2+5,
∴F(p+2,﹣p2+5),
∴EF=(﹣p2+5)﹣(p+2)=﹣p2﹣p+3.
S四邊形DEFG=(DG+EF)EH= [(﹣p2+p)+(﹣p2﹣p+3)]×2=﹣2p2+3p+3
∴當(dāng)p=時(shí),四邊形DEFG的面積取得最大值,
∴D(, )、E(, ).
如答圖2所示,過點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′,則D′(,﹣);
連接D′E,交x軸于點(diǎn)P,PD+PE=PD′+PE=D′E,
由兩點(diǎn)之間線段最短可知,此時(shí)PD+PE最小.
設(shè)直線D′E的解析式為:y=kx+b,
則有,
解得
∴直線D′E的解析式為:y=x﹣.
令y=0,得x=,
∴P(,0).
點(diǎn)睛: 本題是二次函數(shù)壓軸題,綜合考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、函數(shù)最值、分式方程的解、勾股定理、軸對(duì)稱最短路線等知識(shí)點(diǎn),涉及考點(diǎn)眾多,難度較大.本題難點(diǎn)在于第(3)問,涉及兩個(gè)最值問題,第1個(gè)最值問題利用二次函數(shù)解決,第2個(gè)最值問題利用幾何性質(zhì)解決.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】作圖:
(1)如圖甲,以點(diǎn)O為中心,把點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°;
(2)如圖乙,以點(diǎn)O為中心,把線段AB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°;
(3)如圖丙,以點(diǎn)O為中心,把△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°;
(4)如圖丁,以點(diǎn)B為中心,把△ABC旋轉(zhuǎn)180°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)的圖象如圖所示,有以下結(jié)論:①;②;③;④;⑤其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是( )
A. ①② B. ①③④ C. ①②③⑤ D. ①②③④⑤
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,將矩形紙片ABCD折疊,使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合,點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處,折痕為EF,若∠ABE=20°,那么∠EFC′的度數(shù)為( )
A. 115° B. 120° C. 125° D. 130°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知,,可推得.理由如下:
(已知),
且(________)
(等量代換)
(________)
________(________)
又(已知)
(等量代換)
(________)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在□ABCD中,E、F分別是AB、DC邊上的點(diǎn),且AE=CF,
(1)求證:≌.
(2)若DEB=90,求證四邊形DEBF是矩形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了了解初三年級(jí)1000名學(xué)生的身體健康情況,從該年級(jí)隨機(jī)抽取了若干名學(xué)生,將他們按體重(均為整數(shù),單位:kg)分成五組(A:39.5~46.5;B:46.5~53.5;C:53.5~60.5;D:60.5~67.5;E:67.5~74.5),并依據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)繪制了如下兩幅尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
解答下列問題:
(1)這次抽樣調(diào)查的樣本容量是 ,并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(2)C組學(xué)生的頻率為 ,在扇形統(tǒng)計(jì)圖中D組的圓心角是 度;
(3)請(qǐng)你估計(jì)該校初三年級(jí)體重超過60kg的學(xué)生大約有多少名?
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