【題目】如圖,在平面直角坐標系中,O為坐標原點,△AOB是等腰直角三角形,∠AOB=90°,點A(2,1).
(1)求點B的坐標;
(2)求經(jīng)過A、O、B三點的拋物線的函數(shù)表達式;
(3)在(2)所求的拋物線上,是否存在一點P,使四邊形ABOP的面積最大?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1) B(-1.2);(2) y=;(3)見解析.
【解析】
(1)過A作AC⊥x軸于點C,過B作BD⊥x軸于點D,則可證明△ACO≌△ODB,則可求得OD和BD的長,可求得B點坐標;
(2)根據(jù)A、B、O三點的坐標,利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;
(3)由四邊形ABOP可知點P在線段AO的下方,過P作PE∥y軸交線段OA于點E,可求得直線OA解析式,設出P點坐標,則可表示出E點坐標,可表示出PE的長,進一步表示出△POA的面積,則可得到四邊形ABOP的面積,再利用二次函數(shù)的性質可求得其面積最大時P點的坐標.
(1)如圖1,過A作AC⊥x軸于點C,過B作BD⊥x軸于點D,
∵△AOB為等腰三角形,
∴AO=BO,
∵∠AOB=90°,
∴∠AOC+∠DOB=∠DOB+∠OBD=90°,
∴∠AOC=∠OBD,
在△ACO和△ODB中
∴△ACO≌△ODB(AAS),
∵A(2,1),
∴OD=AC=1,BD=OC=2,
∴B(-1,2);
(2)∵拋物線過O點,
∴可設拋物線解析式為y=ax2+bx,
把A、B兩點坐標代入可得,解得,
∴經(jīng)過A、B、O原點的拋物線解析式為y=x2-x;
(3)∵四邊形ABOP,
∴可知點P在線段OA的下方,
過P作PE∥y軸交AO于點E,如圖2,
設直線AO解析式為y=kx,
∵A(2,1),
∴k=,
∴直線AO解析式為y=x,
設P點坐標為(t,t2-t),則E(t,t),
∴PE=t-(t2-t)=-t2+t=-(t-1)2+,
∴S△AOP=PE×2=PE═-(t-1)2+,
由A(2,1)可求得OA=OB=,
∴S△AOB=AOBO=,
∴S四邊形ABOP=S△AOB+S△AOP=-(t-1)2++=,
∵-<0,
∴當t=1時,四邊形ABOP的面積最大,此時P點坐標為(1,-),
綜上可知存在使四邊形ABOP的面積最大的點P,其坐標為(1,-).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知,如圖,BD為⊙O的直徑,點A、C在⊙O上并位于BD的兩側,∠ABC=45°,連結CD、OA并延長交于點F,過點C作⊙O的切線交BD延長線于點E.
(1)求證:∠F=∠ECF;
(2)當DF=6,tan∠EBC=,求AF的值.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】全國第二屆青年運動會是山西省歷史上第一次舉辦的大型綜合性運動會,太原作為主賽區(qū),新建了很多場館,其中在汾河東岸落成了太原水上運動中心,它的終點塔及媒體中心是一個以“大帆船”造型(如圖1),外觀極具創(chuàng)新,這里主要承辦賽艇、皮劃艇、龍舟等項目的比賽.“青春”數(shù)學興趣小組為了測量“大帆船”AB的長度,他們站在汾河西岸,在與AB平行的直線l上取了兩個點C、D,測得CD=40m,∠CDA=120°,∠ACB=18.5°,∠BCD=26.5°,如圖2.請根據(jù)測量結果計算“大帆船”AB的長度.(結果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù):sin26.5°≈0.45,tan26.5°≈0.50,≈1.41,≈1.73)
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,點O為AB中點,點P為直線BC上的動點(不與B、C重合),連接OC、OP,將OP繞點P順時針旋轉60°,得到線段PQ,連接BQ,若∠BPO=15°,BP=4,則BQ的長為_____.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】將拋物線M:y=- x2+2向左平移2個單位,再向上平移1個單位,得到拋物線M'.若拋物線M'與x軸交于A、B兩點,M'的頂點記為C,則∠ACB=( )
A.45°B.60°C.90°D.120°
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2016年4月23日是我國第一個“全民閱讀日”某校開展了“建設書香校園,捐贈有益圖書”活動.我們在參加活動的所有班級中,隨機抽取了一個班,已知這個班是八年級5班,全班共50名學生.現(xiàn)將該班捐贈圖書情況的統(tǒng)計結果,繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
請你根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)補全上面的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖;
(2)求八年級5班平均每人捐贈了多少本書?
(3)若該校八年級共有800名學生,請你估算這個年級學生共可捐贈多少本書?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于二、四象限內的兩點,與軸交于點,點的坐標為,點的坐標為
(1)求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)連接、,求的面積;
(3)設點在軸上,且滿足是直角三角形,直接寫出點的坐標.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某學校組織七年級學生進行“垃圾分類”知識測試,現(xiàn)隨機抽取部分學生的成績進行統(tǒng)計,并繪制如下頻數(shù)分布表以及頻數(shù)分布直方圖.
分數(shù)檔 | 分數(shù)段/分 | 頻數(shù) | 頻率 |
A | 90<x≤100 | a | 0.12 |
B | 80<x≤90 | b | 0.18 |
C | 70<x≤80 | 20 | c |
D | 60<x≤70 | 15 | d |
請根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)已知A,B檔的學生人數(shù)之和等于D檔學生人數(shù),求被抽取的學生人數(shù),并把頻數(shù)分布直方圖補充完整.
(2)該校七年級共有200名學生參加測試,請估計七年級成績在C檔的學生人數(shù).
(3)你能確定被抽取的這些學生的成績的眾數(shù)在哪一檔嗎?請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】小麗從學校去圖書館,小紅沿同一條路從圖書館回學校,她們同時出發(fā),小麗開始跑步中途改為步行,到達圖書館恰好用30分鐘,小紅騎自行車回學校,兩人離學校的路程與各自離開出發(fā)地的時間(分鐘)之間的函數(shù)圖象如圖所示.
(1)小紅騎自行車的速度是_____米/分鐘,小麗從學校到圖書館的平均速度是_____米/分鐘;
(2)求小麗從學校去圖書館時,與之間的函數(shù)關系式;
(3)兩人出發(fā)后多少分鐘相遇,相遇地點離圖書館的路程是多少米.(結果保留一位小數(shù)).
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com