Question

如圖，正方形ABCD的邊長為2，點M是BC的中點，P是線段MC上的一個動點（不與M、C重合），以AB為直徑作⊙O，過點P作⊙O的切線，交AD于點F，切點為E．
（1）求證：OF∥BE；
（2）設BP=x，AF=y，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OE，根據(jù)切線的性質(zhì)求得OA⊥FA，OE⊥EF，F(xiàn)A=FE，根據(jù)角的平分線定理的逆定理求得∴∠AOF=∠EOF=

1

2

∠AOE，然后求得∠OBE=∠OEB，∠AOE=∠OBE+∠OEB=2∠OBE，從而求得∠AOF=∠OBE，根據(jù)平行線的判定證得OF∥BE；
（2）過F作FQ⊥BC于Q，根據(jù)勾股定理即可求得y關于x的函數(shù)解析式．

解答：（1）證明：連接OE，
∵FE、FA是⊙O的兩條切線，
∴OA⊥FA，OE⊥EF，F(xiàn)A=FE，
∴∠AOF=∠EOF=

1

2

∠AOE，
又∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，∠AOE=∠OBE+∠OEB=2∠OBE
∴∠AOF=∠OBE．
∴OF∥BE；       

（2）解：過F作FQ⊥BC于Q，
∴PQ=BP-BQ=x-y，PF=EF+EP=FA+BP=x+y，
∵在Rt△PFQ中，F(xiàn)Q²+QP²=PF²，
∴2²+（x-y）²=（x+y）²，
化簡得y=

1

x

，（1＜x＜2）．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理的逆定理，勾股定理的應用等；作出輔助線構建等腰三角形和矩形是本題的關鍵．