Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，頂點為一次函數(shù) 的圖像交軸于點是拋物線上-一點，點關(guān)于直線的對稱點恰好落在拋物線的對稱軸直線上（對稱軸直線與軸交于點）．

（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）求點的坐標；

（3）若點是第二象限內(nèi)拋物線上一點，關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點是，連接，點是線段上一點，點是坐標平面內(nèi)一點，若四邊形是正方形，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點P的坐標為：（2，6）或（，）；（3）點G的坐標為：（，6）．

【解析】

（1）直接把點A代入解析式，即可求出解析式；

（2）由題意，設(shè)點N的坐標為（，n），連接MN，過點A作AD⊥MN，AD交拋物線與點P，則點D為（，），由AD⊥MN，則，求出n的值，然后求出直線AD的解析式，聯(lián)合拋物線得到方程組，即可求出點P的坐標；

（3）由題意，設(shè)點G為（，），然后得到點E的坐標和直線OG的解析式，由點F在線段OG上，得到點F的坐標，再結(jié)合正方形的性質(zhì)，有，分別求出BF、BE、EF，聯(lián)立方程組，求出p的值，即可得到點G的坐標．

解：（1）∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，

∴，

解得：；

∴二次函數(shù)的解析式為：．

（2）由（1）知，，

∴頂點B為（，），

∴對稱軸為；

在一次函數(shù)中，

令，則，

∴點M的坐標為（0，2），

設(shè)點N的坐標為（，n），

連接MN，過點A作AD⊥MN，AD交拋物線與點P，如圖：

∵點M、N關(guān)于直線AP對稱，

則AD垂直平分MN，即點D是MN的中點，

∴點D的坐標為（，），

∵，

∴，

∴，

解得：，

∴點D的坐標為（，）或（，），

結(jié)合點A（，0），可求得：

直線AD的解析式為：或；

∵拋物線的解析式為，

聯(lián)合直線AD和拋物線，得

∴或，

解得：，或，；

∵點A的坐標為（，0），

∴點P的坐標為：（2，6）或（，）；

（3）由題意可知，點G在第二象限，且點G在拋物線上，四邊形BDEF是正方形，連接BE、DF，如圖：

設(shè)點G為（p，），

∵點G與點E關(guān)于對稱，

∴點E為（，）；

設(shè)直線OG為，則

，則，

∴直線OG為；

∵點F在線段OG上，則

設(shè)點F為（，），點F在第二象限，

∵四邊形BDEF是正方形，

∴，

∵點B為（，），

∴，

，

，

聯(lián)合，

可解得：或，

∵點F在第二象限，則，

∴；

∴

∴點G的坐標為：（，6）．