Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，頂點(diǎn)為一次函數(shù) 的圖像交軸于點(diǎn)是拋物線上-一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在拋物線的對(duì)稱軸直線上（對(duì)稱軸直線與軸交于點(diǎn)）．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)是第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)是，連接，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，若四邊形是正方形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（2，6）或（，）；（3）點(diǎn)G的坐標(biāo)為：（，6）．

【解析】

（1）直接把點(diǎn)A代入解析式，即可求出解析式；

（2）由題意，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，n），連接MN，過點(diǎn)A作AD⊥MN，AD交拋物線與點(diǎn)P，則點(diǎn)D為（，），由AD⊥MN，則，求出n的值，然后求出直線AD的解析式，聯(lián)合拋物線得到方程組，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）由題意，設(shè)點(diǎn)G為（，），然后得到點(diǎn)E的坐標(biāo)和直線OG的解析式，由點(diǎn)F在線段OG上，得到點(diǎn)F的坐標(biāo)，再結(jié)合正方形的性質(zhì)，有，分別求出BF、BE、EF，聯(lián)立方程組，求出p的值，即可得到點(diǎn)G的坐標(biāo)．

解：（1）∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，

∴，

解得：；

∴二次函數(shù)的解析式為：．

（2）由（1）知，，

∴頂點(diǎn)B為（，），

∴對(duì)稱軸為；

在一次函數(shù)中，

令，則，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，2），

設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，n），

連接MN，過點(diǎn)A作AD⊥MN，AD交拋物線與點(diǎn)P，如圖：

∵點(diǎn)M、N關(guān)于直線AP對(duì)稱，

則AD垂直平分MN，即點(diǎn)D是MN的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，），

∵，

∴，

∴，

解得：，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）或（，），

結(jié)合點(diǎn)A（，0），可求得：

直線AD的解析式為：或；

∵拋物線的解析式為，

聯(lián)合直線AD和拋物線，得

∴或，

解得：，或，；

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，0），

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（2，6）或（，）；

（3）由題意可知，點(diǎn)G在第二象限，且點(diǎn)G在拋物線上，四邊形BDEF是正方形，連接BE、DF，如圖：

設(shè)點(diǎn)G為（p，），

∵點(diǎn)G與點(diǎn)E關(guān)于對(duì)稱，

∴點(diǎn)E為（，）；

設(shè)直線OG為，則

，則，

∴直線OG為；

∵點(diǎn)F在線段OG上，則

設(shè)點(diǎn)F為（，），點(diǎn)F在第二象限，

∵四邊形BDEF是正方形，

∴，

∵點(diǎn)B為（，），

∴，

，

，

聯(lián)合，

可解得：或，

∵點(diǎn)F在第二象限，則，

∴；

∴

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為：（，6）．