Question

已知一元二次方程x²-4x+k=0有兩個不相等的實數根．
（1）求k的取值范圍；
（2）如果k是符合條件的最大整數，且一元二次方程x²-4x+k=0和x²+mx-1=0有一個相同的根，求此時m的值．
（3）是否存在k的值使方程x²-4x+k=0的兩根x₁、x₂滿足？若存在，求出k的值；不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據方程有兩個不相等的實數根可得出△＞0，求出k的取值范圍即可；
（2）由（1）中k的取值范圍得出k的最大整數解，代入一元二次方程x²-4x+k=0中求出x的值，再根據兩方程有一個相同的根即可求出m的值；
（3）根據根與系數的關系得出x₁•x₂及x₁+x₂的值，代入所求代數式得出k的值，再看k的值是否滿足（1）中k的取值范圍即可．
解答：解：（1）∵一元二次方程x²-4x+k=0有兩個不相等的實數根，
∴△=（-4）²-4k＞0，
∴k＜4；

（2）∵k＜4，
∴k的最大整數值是3，
∴一元二次方程x²-4x+k=0可化為x²-4x+3=0，
∴x₁=3，x₂=1，
∵一元二次方程x²-4x+k=0和x²+mx-1=0有一個相同的根，
∴當相同的實數根是3時，
3²+3m-1=0，解得m=-；
當相同的實數根是1時，
1²+m-1=0，解得m=0．
故m=-或0；

（3）設方程x²-4x+k=0的兩根x₁、x₂，則x₁•x₂=k；x₁+x₂=4，
假設x₁、x₂滿足，則=6，即=6，
把x₁•x₂=k；x₁+x₂=4代入得，=6，解得k=2，
由（1）可知，k＜4，故k=2符合條件，
故存在符合條件的k的值，此時k=2．
點評：本題考查的是根與系數的關系及根的判別式，在解答此題時要熟知熟知一元二次方程y=ax²+bx+c中，
①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；
②x₁+x₂=-，x₁x₂=．