Question

【題目】如圖，點(diǎn)D是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)C是線段AB的垂直平分線上的任意一點(diǎn)，DE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F．

（1）求證：CE=CF；

（2）點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形CEDF成為正方形？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）CD=AB時(shí)，四邊形CEDF為正方形，理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）由CD垂直平分線AB，可得AC=CB，∴∠ACD=∠BCD，再加∠EDC=∠FDC=90°，可證得△ACD≌△BCD（ASA），∴CE=CF；

（2）因?yàn)橛腥齻�(gè)角是直角，且鄰邊相等的四邊形是正方形．所以當(dāng)CD=AB時(shí)，四邊形CEDF為正方形．

（1）證明：∵CD垂直平分線AB，

∴AC=CB．

∴△ABC是等腰三角形，

∵CD⊥AB，

∴∠ACD=∠BCD．

∵DE⊥AC，DF⊥BC，

∴∠DEC=∠DFC=90°

∴∠EDC=∠FDC，

在△DEC與△DFC中，

，

∴△DEC≌△DFC（ASA），

∴CE=CF．

（2）解：當(dāng)CD=AB時(shí)，四邊形CEDF為正方形．理由如下：

∵CD⊥AB，

∴∠CDB=∠CDA=90°，

∵CD=AB，

∴CD=BD=AD，

∴∠B=∠DCB=∠ACD=45°，

∴∠ACB=90°，

∴四邊形ECFD是矩形，

∵CE=CF，

∴四邊形ECFD是正方形．

考點(diǎn): 1.線段垂直平分線的性質(zhì)；2.正方形的判定．