Question

如圖，在五邊形ABCDE中，∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在邊BC、DE上分別找一點M、N，使得△AMN周長最小，則∠AMN+∠ANM=

 

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Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：取點A關(guān)于BC的對稱點P，關(guān)于DE的對稱點Q，連接PQ與BC相交于點M，與DE相交于點N，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得AM=PM，AN=QN，然后求出△AMN周長=PQ，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，PQ的長度即為△AMN的周長最小值，根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°求出∠P+∠Q，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠AMN=2∠P，∠ANM=2∠Q，然后求解即可．

解答：解：如圖，取點A關(guān)于BC的對稱點P，關(guān)于DE的對稱點Q，連接PQ與BC相交于點M，與DE相交于點N，
則AM=PM，AN=QN，
所以，∠P=∠PAM，∠Q=∠QAN，
所以，△AMN周長=AM+MN+AN=PM+MN+QN=PQ，
由軸對稱確定最短路線，PQ的長度即為△AMN的周長最小值，
∵∠BAE=120°，
∴∠P+∠Q=180°-120°=60°，
∵∠AMN=∠P+∠PAM=2∠P，∠ANM=∠Q+∠QAN=2∠Q，
∴∠AMN+∠ANM=2（∠P+∠Q）=2×60°=120°．
故答案為：120°．

點評：本題考查了利用軸對稱確定最短路線問題，等邊對等角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，確定出點M、N的位置是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀．