Question

在矩形ABCD中，點(diǎn)P在AD上，AB=2，AP=1．將直角尺的頂點(diǎn)放在P處，直角尺的兩邊分別交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF（如圖①）．
（1）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)F恰好與點(diǎn)C重合（如圖②），PC的長為

 

；
（2）探究：將直尺從圖②中的位置開始，繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)A重合時(shí)停止．在這個(gè)過程中（如圖①是該過程的某個(gè)時(shí)刻），請你觀察、猜想，并解答：

PF

PE

的值是否發(fā)生變化？如果不變，只需直接寫出比值，如果發(fā)生變化，請簡單說明理由．

 

（3）連接PB，如圖③，在直角尺旋轉(zhuǎn)過程中，隨著點(diǎn)E和F位置的改變，我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)，當(dāng)BE=PE時(shí)，
EF垂直平分PB，請計(jì)算求出這時(shí)點(diǎn)E在距離A點(diǎn)多遠(yuǎn)處？

Answer 1

考點(diǎn)：幾何變換綜合題

專題：

分析：（1）由勾股定理求PB，利用互余關(guān)系證明△APB∽△DCP，利用相似比求PC；
（2）

PF

PE

的值不變．理由為：過F作FG⊥AD，垂足為G，同（1）的方法證明△APE∽△GFP，得相似比

PF

PE

=

GF

AP

=

2

1

=2，再利用銳角三角函數(shù)的定義求值；
（3）根據(jù)勾股定理，可得關(guān)于x的一元一次方程，解方程，可得答案．

解答：（1）解：在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
AP=1，CD=AB=2，則PB=

5

，
∴∠ABP+∠APB=90°，
又∵∠BPC=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∴∠ABP=∠DPC，
∴△APB∽△DCP，
∴

AP

CD

=

PB

PC

，即

1

2

=

5

PC

，
∴PC=2

5

；
故答案為：2

5

（2）

PF

PE

的值不變．理由為：
證明：過F作FG⊥AD，垂足為G，
則四邊形ABFG是矩形，
∴∠A=∠PGF=90°，GF=AB=2，
∴∠AEP+∠APE=90°，
又∵∠EPF=90°，
∴∠APE+∠GPF=90°，
∴∠AEP=∠GPF，
∴△APE∽△GFP，
∴

PE

PE

=

GF

AP

=

2

1

=2，
∴Rt△EPF中，tan∠PEF=

PF

PE

=2，
∴

PF

PE

的值不變，
故答案為：

PF

PE

的值不變；
（3）解：設(shè)AE=x，BE=2-x，
由PE=BE=2-x．
在Rt△APE中，由勾股定理，得
AE²+AP²=PE²，
即x²+1=（2-x）²．
解得x=

3

4

，
點(diǎn)E在距離A點(diǎn)

3

4

時(shí)，EF垂直平分PB．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，以及解直角三角形，勾股定理，解題的關(guān)鍵是利用互余關(guān)系證明相似三角形．