Question

翻轉類的計算問題在全國各地的中考試卷中出現的頻率很大，因此初三（5）班聰慧的小菲同學結合2011年蘇州市數學中考卷的倒數第二題對這類問題進行了專門的研究．你能和小菲一起解決下列各問題嗎？（以下各問只要求寫出必要的計算過程和簡潔的文字說明即可．）
（1）如圖①，小菲同學把一個邊長為1的正三角形紙片（即△OAB）放在直線l₁上，OA邊與直線l₁重合，然后將三角形紙片向右翻轉一周回到初始位置，求頂點O所經過的路程；并求頂點O所經過的路線；
（2）小菲進行類比研究：如圖②，她把邊長為1的正方形紙片OABC放在直線l₂上，OA邊與直線l₂重合，然后將正方形紙片向右翻轉若干次．她提出了如下問題：
問題①：若正方形紙片OABC接上述方法翻轉一周回到初始位置，求頂點O經過的路程；
問題②：正方形紙片OABC按上述方法經過多少次旋轉，頂點O經過的路程是

41+20 2

2

π．
（3）①小菲又進行了進一步的拓展研究，若把這個正三角形的一邊OA與這個正方形的一邊OA重合（如圖3），然后讓這個正三角形在正方形上翻轉，直到正三角形第一次回到初始位置（即OAB的相對位置和初始時一樣），求頂點O所經過的總路程．
②若把邊長為1的正方形OABC放在邊長為1的正五邊形OABCD上翻轉（如圖④），直到正方形第一次回到初始位置，求頂點O所經過的總路程．
（4）規(guī)律總結，邊長相等的兩個正多邊形，其中一個在另一個上翻轉，當翻轉后第一次回到初始位置時，該正多邊形翻轉的次數一定是兩正多邊形邊數的

 

．

Answer 1

考點：幾何變換綜合題

專題：

分析：（1）根據正三角形的性質及弧長公式求出點A繞點B、點C旋轉的兩段弧長相加即可；
（2）①根據正方形旋轉一周的路徑，；利用弧長公式以及扇形面積公式求出即可；
②利用正方形紙片OABC經過4次旋轉得出旋轉路徑，進而得出

41+20 2

2

π=

20(2+ 2 )

2

π+

π

2

，即可得出旋轉次數；
（3）①首先求出每翻三次翻一周，頂點O所經過的總路線長，進而得出三角形共翻四周回到初始位置，所以頂點O所經過的總路線長；
②首先求出正方形每翻四次翻一周，頂點O所經過的總路線長，再利用共翻5周回到初始位置，即可得出頂點O所經過的總路線長；
（4）邊長相等的兩個正多邊形，其中一個在另一個上翻轉，當翻轉后第一次回到初始位置時，該正多邊形翻轉的次數一定是兩正多邊形邊數的最小公倍數．

解答：解：（1）頂點O所經過的總路線長為：

120π×1

180

×2=

4

3

π；
          
（2）①頂點O經過的總路線長為：

90π×1

180

×2+

90π× 2

180

=π+

2

2

π=

2+ 2

2

π，
②由①：每翻轉一周頂點O經過的總路線長為：

2+ 2

2

π，
由

41+20 2

2

π=

20(2+ 2 )

2

π+

π

2

即翻轉20周后再翻一次，共翻81次．                      

（3）①每翻三次翻一周，頂點O所經過的總路線長為：

210π×1

180

×2=

7

3

π，
共翻四周回到初始位置，所以頂點O所經過的總路線長為：

7

3

π×4=

28

3

π，
②每翻四次翻一周，頂點O所經過的總路線長為：

162π×1

180

×2+

162π× 2

180

=

81π

45

+

9 2 π

10

，
共翻5周回到初始位置，所以頂點O所經過的總路線長為：
5×（

81π

45

+

9 2 π

10

）=

18+9 2

2

π，

（4）當翻轉后第一次回到初始位置時，該正多邊形翻轉的次數一定是兩正多邊形邊數的最小公倍數．
故答案為：最小公倍數．

點評：此題主要考查了旋轉的性質以及等邊三角形的性質和正方形的性質以及弧長公式等知識，熟練利用正多邊形的性質以及弧長公式是解題關鍵．