Question

【題目】如圖，在等腰直角ABC 中，斜邊 AB 的長度為 8，以 AC 為直徑作圓，點(diǎn)P 為半圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接 BP ，取 BP 的中點(diǎn) M ，則CM 的最小值為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

連接AP、CP，分別取AB、BC的中點(diǎn)E、F，連接EF、EM和FM，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)、圓周角定理的推論可得點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡為以EF為直徑的半圓上，取EF的中點(diǎn)O，連接OC，點(diǎn)O即為半圓的圓心，從而得出當(dāng)O、M、C共線時(shí)，CM最小，如圖所示，CM最小為CM1的長，最后根據(jù)勾股定理求值即可．

解：連接AP、CP，分別取AB、BC的中點(diǎn)E、F，連接EF、EM和FM，

∴EM、FM和EF分別是△ABP、△CBP和△ABC的中位線

∴EM∥AP，FM∥CP，EF∥AC，EF=

∴∠EFC=180°－∠ACB=90°

∵AC為直徑

∴∠APC=90°，即AP⊥CP

∴EM⊥MF，即∠EMF=90°

∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡為以EF為直徑的半圓上

取EF的中點(diǎn)O，連接OC，點(diǎn)O即為半圓的圓心

當(dāng)O、M、C共線時(shí)，CM最小，如圖所示，CM最小為CM1的長，

∵等腰直角ABC 中，斜邊 AB 的長度為 8，

∴AC=BC==

∴EF==，FC==，

∴OM1=OF==

根據(jù)勾股定理可得OC=

∴CM1=OC－OM1=

即CM最小值為

故選C．