Question

如圖，以AB為直徑的⊙O切△AFD的邊FD于點B，AD交⊙O于點C，且C是弧AB的中點，CF交AB于點E，且E為OB中點．若AF交⊙O于點H，連接BH，若OA=4，求BH的長．

Answer 1

考點：切線的性質,勾股定理,三角形中位線定理

專題：

分析：由條件可證明△OEC≌△BEF，可得FB=OC=OA=2，AB=4，在Rt△ABF中可求得AF，利用面積相等可得到AF•BH=AB•BF，可求得BH．

解答：解：
∵FD為切線，
∴∠FBE=90°，
∵C為弧AB的中點，
∴∠COA=∠COB，且∠COA+∠COB=180°，
∴∠COE=90°，
又E為OB中點，
∴OE=BE，
在△BEF和△OEC中

∠EBF=∠EOC BE=OE ∠BEF=∠OEC

∴△BEF≌△OEC（ASA），
∴FB=OC=OA=2，且AB=2OA=4，
在Rt△AFB中，由勾股定理可求得AF=2

5

，
又AB為直徑，則BH⊥AF，
由面積相等可得AF•BH=AB•BF，
即2

5

BH=2×4，解得BH=

4 5

5

．

點評：本題主要考查切線的性質及全等三角形的判定和性質，由條件證明三角形全等求得BF的長是解題的關鍵，注意等積法的利用．