Question

如圖甲，在正方形ABCD和正方形BEFG中，點(diǎn)A，B，E在同一條直線上，連接DF，且P是線段DF的中點(diǎn)，連接PG，PC．
（1）如圖甲中，PG與PC的位置關(guān)系是

 

，數(shù)量關(guān)系是

 

；
（2）如圖乙將條件“正方形ABCD和正方形BEFG”改為“矩形ABCD和矩形BEFG”其它條件不變，求證：PG=PC．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),矩形的性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）延長GP交CD于H，可證△DPH≌△GPF，即可求得DH=FG，CH=CG，根據(jù)等腰三角形底邊三線合一可得PC=PG，PC⊥PG；
（2）延長GP交CD于H，可證△DPH≌△GPF，即可求得PH=PG，根據(jù)直角三角形底邊斜邊中線等于斜邊一半性質(zhì)即可解題．

解答：證明：（1）PG⊥PC，PG=PC；
延長GP交CD于H，

∵P是DF中點(diǎn)，∴DP=FP，
∵點(diǎn)ABE在同一直線上，
∴DC∥GF，
∴∠FDC=∠GFP，
∵在△DPH和△GPF中，

∠FDC=∠GFP DP=FP ∠DPH=∠FPG

，
∴△DPH≌△GPF（ASA）
∴HP=GP，GF=DH，
∴CH=CG，
又∵∠HCG=90°，
∴RT△HCG中，P為HG中點(diǎn)，
∴PC=

1

2

GH=PG，PC⊥PG；
（2）延長GP交CD于H，

∵P是DF中點(diǎn)，∴DP=FP，
∵點(diǎn)ABE在同一直線上，
∴DC∥GF，
∴∠FDC=∠GFP
∵在△DPH和△GPF中，

∠FDC=∠GFP DP=FP ∠DPH=∠FPG

，
∠HPD=∠GPF，
∴△DPH≌△GPF（ASA）
∴HP=GP，
又∵∠HCG=90°，
∴RT△HCG中，P為HG中點(diǎn)，
∴PC=

1

2

GH=PG，
即：PG=PC．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△DPH≌△GPF是解題的關(guān)鍵．