Question

如圖，在矩形ABCD中，AD=8，E是邊AB上一點(diǎn)，且AE=

1

4

AB．⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，與邊CD所在直線相切于點(diǎn)G（∠GEB為銳角），與邊AB所在直線交于另一點(diǎn)F，且EG：EF=

5

：2．當(dāng)邊AD或BC所在的直線與⊙O相切時(shí)，AB的長(zhǎng)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),矩形的性質(zhì)

專題：幾何圖形問(wèn)題,壓軸題

分析：過(guò)點(diǎn)G作GN⊥AB，垂足為N，可得EN=NF，由EG：EF=

5

：2，得：EG：EN=

5

：1，依據(jù)勾股定理即可求得AB的長(zhǎng)度．

解答：解：邊AB所在的直線不會(huì)與⊙O相切；邊BC所在的直線與⊙O相切時(shí)，
如圖，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥AB，垂足為N，
∴EN=NF，
又∵EG：EF=

5

：2，
∴EG：EN=

5

：1，
又∵GN=AD=8，
∴設(shè)EN=x，則GE=

5

x，根據(jù)勾股定理得：
(

5

x)2-x2=64，解得：x=4，GE=4

5

，
設(shè)⊙O的半徑為r，由OE²=EN²+ON²
得：r²=16+（8-r）²，
∴r=5．∴OK=NB=5，
∴EB=9，
又AE=

1

4

AB，
∴AB=12．
同理，當(dāng)邊AD所在的直線與⊙O相切時(shí)，AB=4．
故答案為：12或4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)以及勾股定理和垂徑定理的綜合應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵在于做好輔助線，利用勾股定理求出對(duì)應(yīng)圓的半徑．