【題目】設a,b是任意兩個不等實數(shù),我們規(guī)定:滿足不等式a≤x≤b的實數(shù)x的所有取值的全體叫做閉區(qū)間,表示為[a,b].對于一個函數(shù),如果它的自變量x與函數(shù)值y滿足:當m≤x≤n時,有m≤y≤n,我們就稱此函數(shù)是閉區(qū)間[m.n]上的“閉函數(shù)”.如函數(shù) ,當x=1時,y=3;當x=3時,y=1,即當 時,有 ,所以說函數(shù) 是閉區(qū)間[1,3]上的“閉函數(shù)”.
(1)反比例函數(shù)y= 是閉區(qū)間[1,2016]上的“閉函數(shù)”嗎?請判斷并說明理由;
(2)若二次函數(shù)y= 是閉區(qū)間[1,2]上的“閉函數(shù)”,求k的值;
(3)若一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)是閉區(qū)間[m,n]上的“閉函數(shù)”,求此函數(shù)的表達式(用含m,n的代數(shù)式表示).

【答案】
(1)解:反比例函數(shù)y= 是閉區(qū)間[1,2016]上的“閉函數(shù)”.

理由如下:

反比例函數(shù)y= 在第一象限,y隨x的增大而減小,

當x=1時,y=2016; 當x=2016時,y=1,

即圖象過點(1,2016)和(2016,1)

∴當1≤x≤2016時,有1≤y≤2016,符合閉函數(shù)的定義,

∴反比例函數(shù)y= 是閉區(qū)間[1,2016]上的“閉函數(shù)”


(2)解:由于二次函數(shù) 的圖象開口向上,

對稱軸為 ,

∴二次函數(shù) 在閉區(qū)間[1,2]內(nèi),y隨x的增大而增大.

當x=1時,y=1,

∴k=

當x=2時,y=2,

∴k=

即圖象過點(1,1)和(2,2)

∴當1≤x≤2時,有1≤y≤2,符合閉函數(shù)的定義,

∴k=


(3)解:因為一次函數(shù) 是閉區(qū)間 上的“閉函數(shù)”,

根據(jù)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì),有:

(Ⅰ)當 時,即圖象過點(m,m)和(n,n)

解得

(Ⅱ)當 時,即圖象過點(m,n)和(n,m)

,解得

,

∴一次函數(shù)的表達式為


【解析】(1)根據(jù)反比例函數(shù)y=在第一象限,y隨x的增大而減小,當x=1時,y=2016;當x=2016時,y=1,即圖象過點(1,2016)和(2016,1);當1≤x≤2016時,有1≤y≤2016,符合閉函數(shù)的定義,得到反比例函數(shù)y=是閉區(qū)間[1,2016]上的“閉函數(shù)”;(2)由于二次函數(shù) y=x22xk的圖象開口向上,對稱軸為,二次函數(shù)在閉區(qū)間[1,2]內(nèi),y隨x的增大而增大;當x=1時,y=1,k= ;當x=2時,y=2,k= ;即圖象過點(1,1)和(2,2)當1≤x≤2時,有1≤y≤2,符合閉函數(shù)的定義,求出k的值;(3)根據(jù)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì),當k>0時,得到y(tǒng)=x;當k<0時,得到y(tǒng)=-x+m+n,得到一次函數(shù)的表達式.

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