Question

按要求分別寫出以x為未知數(shù)的一元二次方程：①兩根分別為2+

5

，2-

5

：

 

；②二次項系數(shù)不為1，且兩根互為倒數(shù)：

 

；③有一根為0：

 

；④有兩個相等的實數(shù)根：

 

；⑤有一根為-1：

 

；⑥無實數(shù)根：

 

．

Answer 1

考點：根與系數(shù)的關(guān)系,一元二次方程的解,根的判別式

專題：

分析：①設(shè)此一元二次方程為x²+px+q=0，由二次項系數(shù)為1，兩根分別為2+

5

，2-

5

，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得p=-（2+

5

+2-

5

）=-4，q=（2+

5

）（2-

5

）=-1，即可得到滿足題意的一個方程；
②因為方程有兩根，所以△≥0；由于兩根互為倒數(shù)，所以兩根之積等于1，即二次項系數(shù)等于常數(shù)項．只要滿足上述條件的方程即為所求；
③設(shè)方程的兩根是0和1，因而方程是x（x-1）=0即x²-x=0，本題答案不唯一；
④一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，判別式等于0．答案不唯一；
⑤有一個根是-1的一元二次方程有無數(shù)個，只要含有因式x+1的一元二次方程都有一個根是-1；
⑥寫出一個一元二次方程，然后確定根的判別式的值小于0即可．

解答：解：①設(shè)此一元二次方程為x²+px+q=0，
∵二次項系數(shù)為1，兩根分別為2+

5

，2-

5

，
∴p=-（2+

5

+2-

5

）=-4，q=（2+

5

）（2-

5

）=-1，
∴這個方程為：x²+4x-1=0（答案不唯一）；

（2）∵兩根互為倒數(shù)，
∴兩根之積等于1，即二次項系數(shù)等于常數(shù)項．
又∵方程有兩根，
∴△≥0．
設(shè)方程為ax²+bx+a=0，且b²-4a²≥0．
∴滿足條件的方程可寫為2x²+5x+2=0（答案不唯一）；

③設(shè)方程的另一根為1，
則根據(jù)因式分解法可得方程為x（x-1）=0，
即x²-x=0（答案不唯一）；

④∵一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有兩個相等的實數(shù)根，
∴b²-4ac=0，
符合條件的一元二次方程可以為x²+2x+1=0（答案不唯一）；

⑤形如（x+1）（ax+b）=0（a≠0）的一元二次方程都有一個根是-1，
當(dāng)a=1，b=0時，可以寫出一個一元二次方程：x²+x=0（答案不唯一）；

⑥對于方程x²-x+3=0，
∵△=1²-4×1×3=-12＜0，
∴x²-x+3=0無實數(shù)根．
∴符合條件的一元二次方程可以為x²-x+3=0（答案不唯一）．
故答案為x²+4x-1=0；2x²+5x+2=0；x²-x=0；x²+2x+1=0；x²+x=0；x²-x+3=0．

點評：此題考查了根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的根即方程的解的定義，用到的知識點：
一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac的關(guān)系為：①當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當(dāng)△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當(dāng)△＜0時，方程無實數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．
x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，反過來也成立，即

b

a

=-（x₁+x₂），

c

a

=x₁x₂．
能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．