Question

已知△ABC是等腰三角形，過△ABC的一個頂點的一條直線，把△ABC分成兩個小三角形，如果這兩個小三角形也是等腰三角形，試求出各內角的度數(shù)． （不止1個喲!）

Answer 1

分析：根據(jù)題意，畫出圖形，分4種情況，然后根據(jù)圖形結合三角形的有關性質，具體求解即可．

解答：解：一共有4種可能如下：
①△ABC是等腰三角形，AB=AC，線段AD是過定點A的，
根據(jù)題意，由于△ABD、△ACD是等腰三角形，且AD=BD，AD=CD，
那么∠B=∠BAD=∠CAD=∠C，
利用三角形內角和定理，可知∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180°，
解得∠B=∠BAD=∠CAD=∠C=45°，∠BAC=90°；

②如圖所示，①△ABC是等腰三角形，AB=AC，線段AD是過定點A的，
根據(jù)題意，由于△ABD、△ACD是等腰三角形，且AB=BD，AD=CD，
那么有∠B=∠C，∠DAC=∠C，∠BAD=∠BDA，所以∠BDA=2∠C，
根據(jù)∠B+∠C+∠BAC=180°，可得2∠B+3∠B=180°，
解得∠B=36°，則有∠C=36°，∠BAC=108°；

③如圖所示，①△ABC是等腰三角形，AB=AC，線段BD是過頂點B的，
根據(jù)題意，由于△ABD、△BCD是等腰三角形，且AD=BD，BD=BC，
那么有∠ABC=∠C，∠ABD=∠A，∠BDC=∠C，
利用外角性質有∠BDC=2∠A，再利用三角形內角和定理可得5∠A=180°，
解得∠A=36°，則∠ABC=∠C=72°；

④如圖所示，①△ABC是等腰三角形，AB=AC，線段BD是過頂點B的，
根據(jù)題意，由于△ABD、△BCD是等腰三角形，且AD=BD，BC=CD，
那么有∠ABC=∠C，∠ABD=∠A，∠DBC=∠CDB，
根據(jù)外角性質有∠BDC=2∠A，再結合三角形內角和定理有7∠A=180°，
解得∠A=（

180

7

）°，從而易求∠ABC=∠C=（

540

7

）°．

點評：本題考查了等腰三角形的性質、三角形外角的性質、三角形內角和定理、分類討論．注意考慮要全面，任何一邊都可能是腰．