【題目】已知A(2,0),直線y=(2-
)x-2與x軸交于點F,與y軸交于點B,直線l∥AB且交y軸于點C,交x軸于點D,點A關于直線l的對稱點為A′,連接AA′、A′D.直線l從AB出發(fā),以每秒1個單位的速度沿y軸正方向向上平移,設移動時間為t.
(1)求點A′ 的坐標(用含t的代數(shù)式表示);
(2)求證:AB=AF;
(3)過點C作直線AB的垂線交直線y=(2-)x-2于點E,以點C為圓心CE為半徑作⊙C,求當t為何值時,⊙C與△AA′D三邊所在直線相切?
【答案】(1);(2)證明見解析;(3)1或
.
【解析】試題分析:(1)由l∥AB得出∠ODC=∠OAB,再由點A(,0),求出∠ODC=∠OAB=30°,由點A關于直線l的對稱點為A',求出A'點的坐標(用t的代數(shù)式表示);(2)通過點F的坐標,得出AF,在Rt△OAB中,OA=
,OB=2,求出AB,得AB=AF;(3)先由直線l是點A和A'的對稱軸得直線l是∠A'DA的平分線,即得點C到直線AD和A'D的距離相等,當⊙C與AD相切時,也一定與A'D相切,通過直角三角形求解.
試題解析:(1)∵直線與y軸交于點B,∴B(0,
).
∵l∥AB,∴∠ODC=∠OAB.
∵A(,0),∴
. ∴∠ODC=∠OAB=30°.
∵BC=t,∴OC=2t. ∴OD=
. ∴AD=
.
∵點A關于直線l的對稱點為A',∴A'D=AD= ,∠A'DA="60°." ∴△A'DA是等邊三角形.
過點A'作A'H⊥AD于H,∴AH= ,A'H=
.
∴A'點的坐標為.
(2)∵直線與x軸交于點F ,∴F
.
又A(,0),∴AF=4.
在Rt△OAB中,OA=,OB=2,∴AB=4.
∴AB=AF.
(3)分兩種情況討論:
①如圖1,當⊙C與AD(x軸)相切時,
∵直線l是點A和A'的對稱軸,∴直線l是∠A'DA的平分線.
∴點C到直線AD和A'D的距離相等. ∴當⊙C與AD(x軸)相切時,也一定與A'D相切.
∵∠OAB=30°且AB=AF,∴∠ABF="15°." ∴∠CBF=75°.
∵CE⊥AB,∠OBA=60°,∴∠BCE="30°." ∴∠CEB=75°.
∴CB=CE.
∵⊙C與AD相切,∴OC="CE=CB." ∴t=1.
②如圖2,當⊙C與AA'相切于點M時,CE=CB=CM,∴CM=t.
∵CM=DMCD,在Rt△OCD中,∠ODC=30°,OC=t
2,∴CD=2t
4.
∴,解得t=
.
綜上所述,當t=1或時,⊙C與△AA′D三邊所在直線相切.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,邊長為a的等邊△ACB中,E是對稱軸AD上一個動點,連EC,將線段EC繞點C逆時針旋轉60°得到MC,連DM,則在點E運動過程中,DM的最小值是_____。
【答案】1.5
【解析】試題分析:取AC的中點G,連接EG,根據(jù)等邊三角形的性質可得CD=CG,再求出∠DCF=∠GCE,根據(jù)旋轉的性質可得CE=CF,然后利用“邊角邊”證明△DCF和△GCE全等,再根據(jù)全等三角形對應邊相等可得DF=EG,然后根據(jù)垂線段最短可得EG⊥AD時最短,再根據(jù)∠CAD=30°求解即可.
解:如圖,取AC的中點G,連接EG,
∵旋轉角為60°,
∴∠ECD+∠DCF=60°,
又∵∠ECD+∠GCE=∠ACB=60°,
∴∠DCF=∠GCE,
∵AD是等邊△ABC的對稱軸,
∴CD=BC,
∴CD=CG,
又∵CE旋轉到CF,
∴CE=CF,
在△DCF和△GCE中,
,
∴△DCF≌△GCE(SAS),
∴DF=EG,
根據(jù)垂線段最短,EG⊥AD時,EG最短,即DF最短,
此時∵∠CAD=×60°=30°,AG=
AC=
×6=3,
∴EG=AG=
×3=1.5,
∴DF=1.5.
故答案為:1.5.
考點:旋轉的性質;等邊三角形的性質.
【題型】填空題
【結束】
19
【題目】分解因式:
(1) ; (2)9(m+n)2﹣16(m﹣n)2.
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【題目】請仔細閱讀下面材料,然后解決問題:
在分式中,對于只含有一個字母的分式,當分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時,我們稱之為“假分式”.例如: ,
;當分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時,我們稱之為“真分式”,例如:
,
.我們知道,假分數(shù)可以化為帶分數(shù),例如:
,類似的,假分式也可以化為“帶分式”(整式與真分式和的形式),例如:
.
(1)將分式化為帶分式;
(2)當x取哪些整數(shù)值時,分式的值也是整數(shù)?
(3)當x的值變化時,分式的最大值為 .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知AB=AC,∠A=36°,AB的中垂線交AC于點E,交AB于點D,下面4個結論:
①射線BE是∠ABC的平分線;②△BCE是等腰三角形;③△ABE是等腰三角形;④△ADE≌△BDE;
(1)判斷其中正確的結論是哪幾個?
(2)從你認為是正確的結論中選一個加以說明.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(1)如圖1,已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直線m經(jīng)過點A,BD⊥直線m,CE⊥直線m,垂足分別為點D、E.證明:DE=BD+CE.
(2)如圖2,將(1)中的條件改為:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三點都在直線m上,并且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α為任意銳角或鈍角.請問結論DE=BD+CE是否成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由.
(3)拓展與應用:如圖3,D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點(D、A、E三點
互不重合),點F為∠BAC平分線上的一點,且△ABF和△ACF均為等邊三角形,連接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,試判斷△DEF的形狀.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點(﹣1,﹣5),且與正比例函數(shù)y=x的圖象相交于點(2,a).
(1)求實數(shù)a的值及一次函數(shù)的解析式;
(2)求這兩個函數(shù)圖象與x軸所圍成的三角形面積.
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