Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D為⊙O上的一點(diǎn)，OD⊥AC，垂足為E，連接BD.

（1）求證：BD平分∠ABC；

（2）當(dāng)∠ODB＝30°時(shí)，求證：BC＝OD.

 

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：（1）由OD⊥AC得所以∠CBD＝∠ABD，可證；（2）根據(jù)題意得出∠ODB＝∠O B D=∠DBC =∠A=30°,由 AB是⊙O的直徑，得∠C=90°,所以BC=AB，而OD=OB，得證.

試題解析：證明：（1）∵OD⊥AC，OD為半徑，

∴∴∠CBD＝∠ABD，（2分）

∴BD平分∠ABC.（3分）

（2）∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝30°，

∴∠AOD＝∠OBD＋∠ODB＝30°＋30°＝60°.（4分）

又∵OD⊥AC于E，∴∠OEA＝90°，

∴∠A＝180°－∠OEA－∠AOD＝180°－90°－60°＝30°.（5分）

又∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，

則在Rt△ACB中，BC＝AB，∵OD＝AB，∴BC＝OD.（7分）

考點(diǎn)：1.垂徑定理；2.圓周角定理；3.直角三角形的性質(zhì).