Question

如圖，已知平面內(nèi)有兩條直線AB、CD，且AB∥CD，P為一動(dòng)點(diǎn)．

（1）當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到AB、CD之間時(shí)，如圖（1），這時(shí)∠P與∠A、∠C有怎樣的關(guān)系？證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到AB的外側(cè)時(shí)，如圖（2），是否仍有（1）的結(jié)論？如果不是，請(qǐng)寫出你的猜想（不要求證明）；
（3）當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到如圖（3）的位置時(shí)，∠P與∠A、∠C又有怎樣的關(guān)系？證明你的結(jié)論；
（4）若已知中的“AB∥CD”改為“AB、CD相交于O”，如圖（4），則∠BAP、∠PCD、∠P、∠O之間有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）延長(zhǎng)AP后通過(guò)外角定理可得出結(jié)論．
（2）利用外角定理可直接得出答案．
（3）延長(zhǎng)BA到E，延長(zhǎng)DC到F，利用內(nèi)角和定理解答．
（4）連接OP，利用三角形的外角定理進(jìn)行解答．

解答：證明：（1）∠P=∠A+∠C，
延長(zhǎng)AP交CD與點(diǎn)E．
∵AB∥CD，
∴∠A=∠AEC．
又∵∠APC是△PCE的外角，
∴∠APC=∠C+∠AEC．
∴∠APC=∠A+∠C．

（2）否；∠P=∠C-∠A．

（3）∠P=360°-（∠A+∠C）．
延長(zhǎng)BA到E，延長(zhǎng)DC到F，
由（1）得∠P=∠PAE+∠PCF．
∵∠PAE=180°-∠PAB，∠PCF=180°-∠PCD，
∴∠P=360°-（∠PAB+∠PCD）．

（4）∠BAP+∠PCD=∠AOD+∠APC．理由如下：
如圖，連接OP．
∵∠BAP=∠AOP+∠APO，∠PCD=∠COP+∠CPO，
∴∠BAP+∠PCD=∠AOP+∠APO+∠COP+∠CPO=∠AOD+∠APC，即∠BAP+∠PCD=∠AOD+∠APC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平行線的性質(zhì)，難度不大，注意圖形的變化帶來(lái)的影響，不要有慣性思維．