【題目】已知:點(diǎn)A、C分別是∠B的兩條邊上的點(diǎn),點(diǎn)D、E分別是直線BA、BC上的點(diǎn),直線AE、CD相交于點(diǎn)P.
(1)點(diǎn)D、E分別在線段BA、BC上;
①若∠B=60°(如圖1),且AD=BE,BD=CE,則∠APD的度數(shù)為 ;
②若∠B=90°(如圖2),且AD=BC,BD=CE,求∠APD的度數(shù);
(2)如圖3,點(diǎn)D、E分別在線段AB、BC的延長線上,若∠B=90°,AD=BC,∠APD=45°,求證:BD=CE.
【答案】(1)①60°;②45°;(2)見解析
【解析】
(1)連結(jié)AC,由條件可以得出△ABC為等邊三角形,再由證△CBD≌△ACE就可以得出∠BCD=∠CAE,就可以得出結(jié)論;
(2)作AF⊥AB于A,使AF=BD,連結(jié)DF,CF,就可以得出△FAD≌△DBC,再證△DCF為等腰直角三角形,由∠FAD=∠B=90°,就可以得出AF∥BC,就可以得出四邊形AECF是平行四邊形,就有AE∥CF,就可以得出∠EAC=∠FCA,就可以得出結(jié)論;
(3)作AF⊥AB于A,使AF=BD,連結(jié)DF,CF,就可以得出△FAD≌△DBC,再證△DCF為等腰直角三角形,就有∠DCF=∠APD=45°,推出CF∥AE,由∠FAD=∠B=90°,就可以得出AF∥BC,就可以得出四邊形AFCE是平行四邊形,就有AF=CE.
(1)①如圖1,連結(jié)AC,
∵AD=BE,BD=CE,
∴AD+BD=BE+CE,
∴AB=BC.
∵∠B=60°,
∴△ABC為等邊三角形.
∴∠B=∠ACB=60°,BC=AC.
在△CBD和△ACE中
,
∴△CBD≌△ACE(SAS),
∴∠BCD=∠CAE.
∵∠APD=∠CAE+∠ACD,
∴∠APD=∠BCD+∠ACD=60°.
故答案為60°;
②如圖2,作AF⊥AB于A,使AF=BD,連結(jié)DF,CF,
∴∠FAD=90°.
∵∠B=90°,
∴∠FAD=∠B.
在△FAD和△DBC中,
,
∴△FAD≌△DBC(SAS),
∴DF=DC,∠ADF=∠BCD.
∵∠BDC+∠BCD=90°,
∴∠ADF+∠BDC=90°,
∴∠FDC=90°,
∴∠FCD=45°.
∵∠FAD=90°,∠B=90,
∴∠FAD+∠B=180°,
∴AF∥BC.
∵DB=CE,
∴AF=CE,
∴四邊形AECF是平行四邊形,
∴AE∥CF,
∴∠EAC=∠FCA.
∵∠APD=∠ACP+∠EAC,
∴∠APD=∠ACP+∠ACE=45°;
(2)如圖3,作AF⊥AB于A,使AF=BD,連結(jié)DF,CF,
∴∠FAD=90°.
∵∠ABC=90°,
∴∠FAD=∠DBC=90°.
在△FAD和△DBC中,
,
∴△FAD≌△DBC(SAS),
∴DF=DC,∠ADF=∠BCD.
∵∠BDC+∠BCD=90°,
∴∠ADF+∠BDC=90°,
∴∠FDC=90°,
∴∠FCD=45°.
∵∠APD=45°,
∴∠FCD=∠APD,
∴CF∥AE.
∵∠FAD=90°,∠ABC=90,
∴∠FAD=∠ABC,
∴AF∥BC.
∴四邊形AECF是平行四邊形,
∴AF=CE,
∴CE=BD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)是菱形邊上的一動(dòng)點(diǎn),它從點(diǎn)出發(fā)沿在路徑勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn),設(shè)的面積為,點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為,則關(guān)于的函數(shù)圖象大致為
A. B.
C. D.
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【題目】如圖在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是邊AB的中點(diǎn),BE⊥CD,垂足為點(diǎn)E.已知AC=15,cosA=.
(1)求線段CD的長;
(2)求sin∠DBE的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線的表達(dá)式為,線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A(1,2),B(3,2)
(1)若拋物線經(jīng)過原點(diǎn),求出的值;
(2)求拋物線頂點(diǎn)C的坐標(biāo)(用含有m的代數(shù)式表示);
(3)若拋物線與線段AB恰有一個(gè)公共點(diǎn),結(jié)合函數(shù)圖象,求出m的取值范圍.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為對稱中心,把點(diǎn)A(3,4)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到點(diǎn)B,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為()
A. (4,-3) B. (-4,3) C. (-3,4) D. (-3,-4)
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【題目】如圖,平行四邊形ABCD的周長為28,對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),BD=12,則△DOE的周長為( )
A.28B.12C.13D.17
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【題目】如圖,矩形ABCD的邊BC和AB的長分別為4和5,把它的左上角如圖所示折疊.點(diǎn)A恰好落在CD邊上的點(diǎn)F處,折痕為BE,則DE的長為( )
A.B.C.D.
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【題目】如圖,已知,⊙O的半徑,弦AB,CD交于點(diǎn)E,C為的中點(diǎn),過D點(diǎn)的直線交AB延長線與點(diǎn)F,且DF=EF.
(1)如圖①,試判斷DF與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)如圖②,連接AC,若AC∥DF,BE=AE,求CE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,利用兩面靠墻(墻足夠長),用總長度37米的籬笆(圖中實(shí)線部分)圍成一個(gè)矩形雞舍ABCD,且中間共留三個(gè)1米的小門,設(shè)籬笆BC長為x米.
(1)AB=______.(用含x的代數(shù)式表示)
(2)若矩形雞舍ABCD 面積為150平方米,求籬笆BC的長.
(3)矩形雞舍ABCD面積是否有可能達(dá)到210平方米?若有可能,求出相應(yīng)x的值;若不可能,則說明理由.
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