Question

如圖，⊙O的半徑是2，直線l與⊙O相交于A、B兩點(diǎn)，M、N是⊙O上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線l的異側(cè)，若∠AMB=45°，則四邊形MANB面積的最大值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,圓周角定理

專題：壓軸題

分析：過點(diǎn)O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E兩點(diǎn)，連結(jié)OA、OB、DA、DB、EA、EB，根據(jù)圓周角定理得∠AOB=2∠AMB=90°，則△OAB為等腰直角三角形，所以AB=

2

OA=2

2

，由于S_{四邊形MANB}=S_△MAB+S_△NAB，而當(dāng)M點(diǎn)到AB的距離最大，△MAB的面積最大；當(dāng)N點(diǎn)到AB的距離最大時(shí)，△NAB的面積最大，即M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)，所以四邊形MANB面積的最大值=S_{四邊形DAEB}=S_△DAB+S_△EAB=

1

2

AB•CD+

1

2

AB•CE=

1

2

AB（CD+CE）=

1

2

AB•DE=

1

2

×2

2

×4=4

2

．

解答：解：過點(diǎn)O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E兩點(diǎn)，連結(jié)OA、OB、DA、DB、EA、EB，如圖，
∵∠AMB=45°，
∴∠AOB=2∠AMB=90°，
∴△OAB為等腰直角三角形，
∴AB=

2

OA=2

2

，
∵S_{四邊形MANB}=S_△MAB+S_△NAB，
∴當(dāng)M點(diǎn)到AB的距離最大，△MAB的面積最大；當(dāng)N點(diǎn)到AB的距離最大時(shí)，△NAB的面積最大，
即M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)，
此時(shí)四邊形MANB面積的最大值=S_{四邊形DAEB}=S_△DAB+S_△EAB=

1

2

AB•CD+

1

2

AB•CE=

1

2

AB（CD+CE）=

1

2

AB•DE=

1

2

×2

2

×4=4

2

．
故答案為：4

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條�。�也考查了圓周角定理．