Question

在直角梯形ABCD中，∠C=90°，高CD=6cm（如圖1）．動點(diǎn)P，Q同時從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P沿BA，AD，DC運(yùn)動到點(diǎn)C停止，點(diǎn)Q沿BC運(yùn)動到C點(diǎn)停止．兩點(diǎn)運(yùn)動時的速度都是1cm/s．而當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時，點(diǎn)Q正好到達(dá)點(diǎn)C．設(shè)P，Q同時從點(diǎn)B出發(fā)，經(jīng)過的時間為t（s）時，△BPQ的面積為y（cm²）（如圖2）．分別以x，y為橫、縱坐標(biāo)建立直角坐標(biāo)系，已知點(diǎn)P在AD邊上從A到D運(yùn)動時，y與t的函數(shù)圖象是圖3中的線段MN．
（1）分別求出梯形中BA，AD的長度；
（2）寫出圖3中M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）分別寫出點(diǎn)P在BA邊上和DC邊上運(yùn)動時，y與t的函數(shù)關(guān)系式（注明自變量的取值范圍），并在答題卷的圖4（放大了的圖3）中補(bǔ)全整個運(yùn)動中y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系的大致圖象．

Answer 1

【答案】分析：（1）P在AD邊上運(yùn)動時，三角形BQP以BQ為底邊，以CD的長為高，因此可根據(jù)三角形BQP的面積為30cm²求出BC=10cm，而P、Q速度相同，P到A的時間與Q到C的時間相同，因此BA=BC．那么BA=BC=10cm．
求AD的長可通過構(gòu)建直角三角形來求解．過A作AH⊥BC與H，那么在直角三角形ABH中，AH=CD=6cm，BA=10cm；因此可根據(jù)勾股定理求出BH=8cm，那么AD=BC-BH=2cm．
（2）根據(jù)（1）得出的BA、AD的長，可求出P從B運(yùn)動到A，從A運(yùn)動到D分別用了多少時間，即可求出M、N的橫坐標(biāo)，已知M、N的縱坐標(biāo)為30，由此可得出M、N的坐標(biāo)．
（3）三角形BQP中，BQ=t，BP=t，以BQ為底邊的高，可用BP•sinB來表示，然后可根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式得出關(guān)于y，t的函數(shù)關(guān)系式．
解答：解：（1）設(shè)動點(diǎn)出發(fā)t秒后，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A且點(diǎn)Q正好到達(dá)點(diǎn)C時，BC=BA=t，
則S_△BPQ=×t×6=30，
所以t=10（秒）．
則BA=10（cm），
過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，
則四邊形AHCD是矩形，
∴AD=CH，CD=AH=6cm，
在Rt△ABH中，BH=8cm，
∴CH=2cm，
∴AD=2cm；

（2）可得坐標(biāo)為M（10，30），N（12，30）；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在BA邊上時，
y=×t×tsinB=t²×=t²（0≤t＜10）；
當(dāng)點(diǎn)P在DC邊上時，
y=×10×（18-t）=-5t+90（12＜t≤18）；
圖象見下．
點(diǎn)評：本題結(jié)合梯形、三角形的相關(guān)知識考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．借助函數(shù)圖象表達(dá)題目中的信息，讀懂圖象是關(guān)鍵．