Question

 如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，正方形OABC的邊長為2cm，點A、C分別在y軸的負半軸和x軸的正半軸上，拋物線y=ax²+bx+c經過點A、B和D.

（1）求拋物線的解析式.  

（2）如果點P由點A出發(fā)沿AB邊以2cm/s的速度向點B運動，同

時點Q由點B出發(fā)沿BC邊以1cm/s的速度向點C運動，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動. 設S=PQ²(cm²)

①試求出S與運動時間t之間的函數(shù)關系式，并寫出t的取值范圍；

②當S取時，在拋物線上是否存在點R，使得以P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形?  如果存在，求出R點的坐標；如果不存在，請說明理由. 

（3）在拋物線的對稱軸上求點M，使得M到D、A的距離之差最大，求出點M的坐標.

Answer 1

解：解: (1)據(jù)題意知: A(0, －2), B(2, －2) ，D（4，—）, 

則                                  解得                    

     ∴拋物線的解析式為:

  (2) ①由圖象知: PB=2－2t, BQ= t, ∴S=PQ²=PB²+BQ²=(2－2t)² + t² ,

即 S=5t²－8t+4 (0≤t≤1)   …… 2分（解析式和t取值范圍各1分）

②假設存在點R, 可構成以P、B、R、Q為頂點的平行四邊形.

∵S=5t²－8t+4 (0≤t≤1),  ∴當S=時,  5t²－8t+4=,得 20t²－32t+11=0,

解得 t = ，t = （不合題意，舍去） …… 2分

此時點 P的坐標為（1，-2），Q點的坐標為（2，—）

若R點存在，分情況討論:

【A】假設R在BQ的右邊, 這時QRPB, 則，R的橫坐標為3, R的縱坐標為—

 即R (3, －)，代入, 左右兩邊相等，

∴這時存在R(3, －)滿足題意. …… 1分

【B】假設R在BQ的左邊, 這時PRQB, 則：R的橫坐標為1, 縱坐標為－即(1, －)  代入, 左右兩邊不相等, R不在拋物線上. …… 1分

【C】假設R在PB的下方, 這時PRQB, 則：R(1，—)代入,

 左右不相等, ∴R不在拋物線上. …… 1分

    綜上所述, 存點一點R(3, －)滿足題意.

（3）∵A關于拋物線的對稱軸的對稱點為B,過B、D的直線與拋物線的對稱軸的交點為所求M，M的坐標為（1，—）…… 2分