Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)分別為（m，0），（n，4），且m＞0，四邊形ABCD是矩形．

（1）如圖1，當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，求m，n的值；

（2）在圖2中，畫出矩形ABCD，簡(jiǎn)要說明點(diǎn)C，D的位置是如何確定的，并直接用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）探究：當(dāng)m為何值時(shí)，矩形ABCD的對(duì)角線AC的長(zhǎng)度最短．

Answer 1

【答案】（1）m=1，n=3；（2）C（m+，1）；（3）當(dāng)m=時(shí)，矩形ABCD的對(duì)角線AC的長(zhǎng)最短為4.

【解析】

試題分析：（1）先判斷出∠ADE=∠BAO，即可判斷出△ABO≌△ADE，得出DE=OA=3，AE=OB，即可求出m；

（2）先根據(jù)垂直的作法即可畫出圖形，判斷出△ADE≌△CBF，得出CF=1，再判斷出△AOB∽△DEA，即可得出OB=，即可得出結(jié)論；

（3）先判斷出BD⊥x軸時(shí)，求出AC的最小值，再求出DM=2，最后用勾股定理求出AE即可得出m．

試題解析：（1）如圖1，過點(diǎn)D作DE⊥y軸于E，

∴∠AED=∠AOB=90°，∴∠ADE+∠DAE=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠BAD=90°，

∴∠DAE+∠BAO=90°，∴∠ADE=∠BAO，

在△ABO和△ADE中，，

∴△ABO≌△ADE，

∴DE=OA，AE=OB，

∵A（0，3），B（m，0），D（n，4），

∴OA=3，OB=m，OE=4，DE=n，∴n=3，

∴OE=OA+AE=OA+OB=3+m=4，∴m=1；

（2）畫法：如圖2，①過點(diǎn)A畫AB的垂線l1，

過點(diǎn)B畫AB的垂線l2，

②過點(diǎn)E（0，4），畫y軸的垂線l3交l1于D，

③過點(diǎn)D畫直線l1的垂線交直線l2于點(diǎn)C，

所以，四邊形ABCD是所求作的圖形，

過點(diǎn)C作CF⊥x軸于F，

∴∠CBF+∠BCF=90°，

∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠ABC=∠BAD=90°，

∴∠ABO+∠CBF=90°，∴∠BCF=∠ABO，同理：∠ABO=∠DAE，

∴∠BCF=∠DAE，

在△ADE和△CBF中，，

∴△ADE≌△CBF，

∴DE=BF=n，AE=CF=1，

易證△AOB∽△DEA，∴，∴，∴n=，

∴OF=OB+BF=m+，∴C（m+，1）；

（3）如圖3，由矩形的性質(zhì)可知，BD=AC，

∴BD最小時(shí)，AC最小，

∵B（m，0），D（n，4），

∴當(dāng)BD⊥x軸時(shí)，BD有最小值4，此時(shí)，m=n，

即：AC的最小值為4，

連接BD，AC交于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作AE⊥BD于E，

由矩形的性質(zhì)可知，DM=BM=BD=2，

∵A（0，3），D（n，4），∴DE=1，∴EM=DM﹣DE=1，

在Rt△AEM中，根據(jù)勾股定理得，AE=，∴m=，即：

當(dāng)m=時(shí)，矩形ABCD的對(duì)角線AC的長(zhǎng)最短為4．