Question

【題目】如圖，四邊形內(nèi)接于，是的直徑，點在的延長線上，．

（Ⅰ）若，求弧的長；

（Ⅱ）若弧弧，，求證：是的切線．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的長 =π；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）連接OC，OD，由圓周角定理可得∠COD=90°，然后利用弧長公式即可得；

（Ⅱ）由=，可得∠BOC=∠AOD，從而可得∠AOD=45°，再由三角形內(nèi)角和從而可得∠ODA=67.5°，由AD=AP可得∠ADP=∠APD，由∠CAD=∠ADP+∠APD，∠CAD=45°可得∠ADP=22.5°，繼而可得∠ODP=90°，從而得 PD是⊙O的切線.

試題解析：（Ⅰ）連接OC，OD，∵∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，∴∠COD=90°，∵AB=4，∴OC= AB=2，∴的長= =π；

（Ⅱ）∵=，∴∠BOC=∠AOD，∵∠COD=90°，∴∠AOD= =45°，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∵∠AOD+∠ODA+∠OAD=180°，∴∠ODA==67.5°，∵AD=AP，∴∠ADP=∠APD，∵∠CAD=∠ADP+∠APD，∠CAD=45°，∴∠ADP= ∠CAD=22.5°，∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，又∵OD是半徑，∴PD是⊙O的切線.