【題目】已知:在△ABC中AB=AC,點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn),點(diǎn)F是AB邊上一點(diǎn),點(diǎn)E在線段DF的延長線上,∠BAE=∠BDF,點(diǎn)M在線段DF上,∠ABE=∠DBM.
1.如圖1,當(dāng)∠ABC=45°時(shí),求證:AE=MD;
2.如圖2,當(dāng)∠ABC=60°時(shí),則線段AE、MD之間的數(shù)量關(guān)系為: .
3.在(2)的條件下延長BM到P,使MP=BM,連接CP,若AB=7,AE=,求tan∠ACP的值.
【答案】(1)證明見解析;(2)AE=2MD;(3)tan∠ACP= .
【解析】
(1)由題意知∠BAE=∠BDM,∠ABE=∠DBM故有△ABE∽△DBMAE:DM=AB:BD,而∠ABC=45°AB=BD,則有AE=MD;
(2)由于△ABE∽△DBM,相似比為2,進(jìn)而確定出AE與DM的關(guān)系;
(3)由題意知得△BEP為等邊三角形,有EM⊥BP,∠BMD=∠AEB=90°,在Rt△AEB中求得AE、AB、tan∠EAB的值,由D為BC中點(diǎn),M為BP中點(diǎn),得DM∥PC,求得tan∠PCB的值,在Rt△ABD和Rt△NDC中,由銳角三角函數(shù)的定義求得AD、ND的值,進(jìn)而求得tan∠ACP的值.
(1)證明:如圖1 連接AD
∵AB=AC,BD=CD,
∴AD⊥BC,
又∵∠ABC=45°,
∴BD=ABcos∠ABC,即AB= BD.
∵∠BAE=∠BDM,∠ABE=∠DBM,
∴△ABE∽△DBM
∴,
∴AE=MD.
(2)AE=2MD
如圖2,連接AD,EP,過N作NH⊥AC,垂足為H,連接NH,
∵AB=AC,∠ABC=60°,
∴△ABC是等邊三角形,
又∵D為BC的中點(diǎn),
∴AD⊥BC,∠DAC=30°,BD=DC=AB,
∵∠BAE=∠BDM,∠ABE=∠DBM,
∴△ABE∽△DBM,
∴,即AE=2DM;
(3)解:如圖2 由(2)得△ABE∽△DBM,
∴,∠AEB=∠DMB,
∴EB=2BM,
又∵BM=MP
∴EB=BP,
又∵∠EBM=∠ABC=60°,
∴△BEP為等邊三角形,
∴EM⊥BP,
∴∠BMD=90° ,
∴∠AEB=90°,
在Rt△AEB中,AE=2,AB=7,
∴=,
∵D為BC中點(diǎn) M為PB中點(diǎn),
∴DM//PC,
∴∠MDB=∠PCB,
∴∠EAB=∠PCB,
∴tan∠PCB=,
在RT△ABD中,AD=ABsin∠ABD=,
在RT△NDC中,ND=CDtan∠NCD ==,
∴NA=AD-ND=,
過N作NH⊥AC,垂足為H,
在RT△ANH中,NH=AH=,AH=ANcos∠NAH=,
∴CH=AC-AH=,
∴tan∠ACP==.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC中,AB=8,BC=10,AC=12,D是AC邊上一點(diǎn),且AB2=ADAC,連接BD,點(diǎn)E、F分別是BC、AC上兩點(diǎn)(點(diǎn)E不與B、C重合),∠AEF=∠C,AE與BD相交于點(diǎn)G.
(1)求BD的長;
(2)求證△BGE∽△CEF;
(3)連接FG,當(dāng)△GEF是等腰三角形時(shí),直接寫出BE的所有可能的長度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=x2+(k﹣1)x﹣k與直線y=kx+1交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè).
(1)如圖1,當(dāng)k=1時(shí),直接寫出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)在(1)的條件下,點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且在直線AB下方,試求出△ABP面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)如圖2,拋物線y=x2+(k﹣1)x﹣k(k>0)與x軸交于點(diǎn)C、D兩點(diǎn)(點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)),在直線y=kx+1上是否存在唯一一點(diǎn)Q,使得∠OQC=90°?若存在,請求出此時(shí)k的值;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是一棵古樹,某校初四(1)班數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)想利用所學(xué)知識測出這棵古樹的高,過程如下:在古樹同側(cè)的水平地面上,分別選取了C、D兩點(diǎn)(C、D兩點(diǎn)與古樹在同一直線上),用測角儀在C處測得古樹頂端A的仰角α=60°,在D處測得古樹頂端A的仰角β=30°,又測得C、D兩點(diǎn)相距14米.已知測角儀高為1.5米,請你根據(jù)他們所測得的數(shù)據(jù)求出古樹AB的高.(精確到0.1米,≈1.732)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,坡面CD的坡比為,坡頂?shù)钠降谺C上有一棵小樹AB,當(dāng)太陽光線與水平線夾角成60°時(shí),測得小樹的在坡頂平地上的樹影BC=3米,斜坡上的樹影CD=米,則小樹AB的高是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中,點(diǎn)都在格點(diǎn)上。
(Ⅰ)AC的長是_____________;
(Ⅱ)將四邊形折疊,使點(diǎn)C與點(diǎn)4重合,折痕EF交BC于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)F,點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為Q,得五邊形.請用無刻度的直尺在網(wǎng)格中畫出折疊后的五邊形,并簡要說明點(diǎn)的位置是如何找到的____________________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將線段 AB 先向右平移 5 個(gè)單位,再將所得線段繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 90°,得到線段 AB ,則點(diǎn) B 的對應(yīng)點(diǎn) B′的坐標(biāo)是( )
A.(-4 , 1)B.( -1, 2)C.(4 ,- 1)D.(1 ,- 2)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示是某路燈燈架示意圖,其中點(diǎn)A表示電燈,AB和BC為燈架,l表示地面,已知AB=2m,BC=5.7m,∠ABC=110°,BC⊥l于點(diǎn)C,求電燈A與地面l的距離.(結(jié)果精確到0.1m.參考數(shù)據(jù):sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將等邊△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△EDC,連接AD,BD.則下列結(jié)論:
①AC=AD;②BD⊥AC;③四邊形ACED是菱形.
其中正確的個(gè)數(shù)是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
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