Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝12，D是AC邊上一點，且AB2＝ADAC，連接BD，點E、F分別是BC、AC上兩點（點E不與B、C重合），∠AEF＝∠C，AE與BD相交于點G．

（1）求BD的長；

（2）求證△BGE∽△CEF；

（3）連接FG，當△GEF是等腰三角形時，直接寫出BE的所有可能的長度．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）4或﹣5+或﹣3+

【解析】

（1）證明△ADB∽△ABC，可得，由此即可解決問題．

（2）想辦法證明∠BEA=∠EFC，∠DBC=∠C即可解決問題．

（3）分三種情形構建方程組解決問題即可．

（1）∵AB=8，AC=12，又∵AB2=ADAC

∴

∵AB2=ADAC，

∴，

又∵∠BAC是公共角

∴△ADB∽△ABC，

∴

∴=

∴．

（2）∵AC=12，，

∴，

∴BD=CD，

∴∠DBC=∠C，

∵△ADB∽△ABC

∴∠ABD=∠C，

∴∠ABD=∠DBC，

∵∠BEF=∠C+∠EFC，

即∠BEA+∠AEF=∠C+∠EFC，

∵∠AEF=∠C，

∴∠BEA=∠EFC，又∵∠DBC=∠C，

∴△BEG∽△CFE．

（3）如圖中，過點A作AH∥BC，交BD的延長線于點H，設BE=x，CF=y，

∵AH∥BC，

∴====，

∵BD=CD=，AH=8，

∴AD=DH=，

∴BH=12，

∵AH∥BC，

∴=，

∴=，

∴BG=，

∵∠BEF=∠C+∠EFC，

∴∠BEA+∠AEF=∠C+∠EFC，

∵∠AEF=∠C，

∴∠BEA=∠EFC，

又∵∠DBC=∠C，

∴△BEG∽△CFE，

∴=，

∴=，

∴y=；

當△GEF是等腰三角形時，存在以下三種情況：

①若GE=GF，如圖中，則∠GEF=∠GFE=∠C=∠DBC，

∴△GEF∽△DBC，

∵BC=10，DB=DC=，

∴==，

又∵△BEG∽△CFE，

∴==，即=，

又∵y=，

∴x=BE=4；

②若EG=EF，如圖中，則△BEG與△CFE全等，

∴BE=CF，即x=y，

又∵y=，

∴x=BE=﹣5+；

③若FG=FE，如圖中，則同理可得==，

由△BEG∽△CFE，可得 ==，

即=，

又∵y=，

∴x=BE=﹣3+．