【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,CD切⊙O于點(diǎn)D,且BD∥OC,連接AC.
(1)求證:AC是⊙O的切線;
(2)若AB=OC=4,求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留根號(hào)和π)
【答案】(1)證明見解析;(2);
【解析】
(1)連接OD,先根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠CDO=90°,再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AOC=∠OBD,∠COD=∠ODB,又因?yàn)?/span>OB=OD,所以∠OBD=∠ODB,即∠AOC=∠COD,再根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)得到∠CAO=∠CDO=90°,根據(jù)切線的判定即可得證;
(2)因?yàn)?/span>AB=OC=4,OB=OD,Rt△ODC與Rt△OAC是含30°的直角三角形,從而得到
∠DOB=60°,即△BOD為等邊三角形,再用扇形的面積減去△BOD的面積即可.
(1)證明:連接OD,
∵CD與圓O相切,
∴OD⊥CD,
∴∠CDO=90°,
∵BD∥OC,
∴∠AOC=∠OBD,∠COD=∠ODB,
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB,
∴∠AOC=∠COD,
在△AOC和△DOC中,
,
∴△AOC≌△EOC(SAS),
∴∠CAO=∠CDO=90°,則AC與圓O相切;
(2)∵AB=OC=4,OB=OD,
∴Rt△ODC與Rt△OAC是含30°的直角三角形,
∴∠DOC=∠COA=60°,
∴∠DOB=60°,
∴△BOD為等邊三角形,
圖中陰影部分的面積=扇形DOB的面積﹣△DOB的面積,
=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)于代數(shù)式,不同的表達(dá)形式能表現(xiàn)出它的不同性質(zhì).例如代數(shù)式,若將其寫成的形式,就能看出不論字母x取何值,它都表示正數(shù);若將它寫成的形式,就能與代數(shù)式B=建立聯(lián)系.下面我們改變x的值,研究一下A,B兩個(gè)代數(shù)式取值的規(guī)律:
x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
10 | 5 | 2 | 1 | 5 | ||
17 | 10 | 5 |
(1)完成上表;
(2)觀察表格可以發(fā)現(xiàn):
若x=m時(shí),,則x=m+1時(shí),.我們把這種現(xiàn)象稱為代數(shù)式A參照代數(shù)式B取值延后,此時(shí)延后值為1.
①若代數(shù)式D參照代數(shù)式B取值延后,相應(yīng)的延后值為2,求代數(shù)式D;
②已知代數(shù)式參照代數(shù)式取值延后,請(qǐng)直接寫出b-c的值:________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀新知:化簡(jiǎn)后,一般形式為ax4+bx2+c=0(a≠0)的方程,由于其具有只含有未知數(shù)偶次項(xiàng)的四次方程,我們稱其為“雙二次方程”.這類方程我們一般可以通過換元法求解.如:求解2x4-5x2+3=0的解.
解:設(shè),則原方程可化為:,解之得
當(dāng)時(shí),, ∴;
當(dāng)時(shí) ∴.
綜上,原方程的解為:,.
(1)通過上述閱讀,請(qǐng)你求出方程的解;
(2)判斷雙二次方程ax4+bx2+c=0(a≠0)根的情況,下列說法正確的是 (選出正確的答案).
①當(dāng)b2-4ac≥0時(shí),原方程一定有實(shí)數(shù)根;
②當(dāng)b2-4ac<0時(shí),原方程一定沒有實(shí)數(shù)根;
③原方程無實(shí)數(shù)根時(shí),一定有b2-4ac<0.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中任意一點(diǎn)P(xo,yo),將△ABC平移后得到△A1B1C1,點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1(xo+6,yo+4).
(1)寫出A1、B1、C1的坐標(biāo).
(2)若三角形外有一點(diǎn)M經(jīng)過同樣的平移后得到點(diǎn)N(5,3),寫出M點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人加工同一種零件,甲每天加工的數(shù)量是乙每天加工數(shù)量的 1.5 倍,兩人各加工 600 個(gè)這種零件,甲比乙少用 5 天.
(1)求甲、乙兩人每天各加工多少個(gè)這種零件?
(2)已知甲、乙兩人加工這種零件每天的加工費(fèi)分別是 150 元和 120 元,現(xiàn)有 3000 個(gè)這種零件的加工任務(wù),甲單獨(dú)加工一段時(shí)間后另有安排,剩余任務(wù)由乙單獨(dú)完成.如果總加工費(fèi)不超過 7800 元,那么甲至少加工了多少天?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖(1),P為△ABC所在平面上一點(diǎn),且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).
(1)如果點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn),且∠ABC=60°.
①求證:△ABP∽△BCP;
②若PA=3,PC=4,則PB= .
(2)已知銳角△ABC,分別以AB、AC為邊向外作正△ABE和正△ACD,CE和BD 相交于P點(diǎn).如圖(2)
①求∠CPD的度數(shù);
②求證:P點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某小組做“用頻率估計(jì)概率”的實(shí)驗(yàn)時(shí),統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率,繪制了如圖的折線圖,則符合這一結(jié)果的實(shí)驗(yàn)最有可能的是( 。
A. 在“石頭、剪刀、布”的游戲中,小明隨機(jī)出的是“剪刀”
B. 擲一枚質(zhì)地均勻的正六面體骰子,向上一面的點(diǎn)數(shù)是4
C. 一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后,從中任抽一張牌,抽中紅桃
D. 拋擲一枚均勻的硬幣,前2次都正面朝上,第3次正面仍朝上
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已如,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)的坐標(biāo)為、點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)在軸上,作直線.點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)剛好在軸上,連接.
(1)寫出一點(diǎn)的坐標(biāo),并求出直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;
(2)點(diǎn)在線段上,連接、、,當(dāng)是等腰直角三角形時(shí),求點(diǎn)坐標(biāo);
(3)如圖②,在(2)的條件下,點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向原點(diǎn)運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng),連接,過作的垂線,交軸于點(diǎn),問點(diǎn)運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)是等腰三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:如圖1,在△ABC和△ADE中,AB=AC=AD=AE,當(dāng)∠BAC+∠DAE=180° 時(shí),我們稱△ABC與△DAE互為“頂補(bǔ)等腰三角形”,△ABC的邊BC上的高線AM叫做△ADE的“頂心距”,點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”.
(1)特例感知:在圖2,圖3中,△ABC與△DAE互為“頂補(bǔ)等腰三角形”,AM是“頂心距”。
①如圖2,當(dāng)∠BAC=90°時(shí),AM與DE之間的數(shù)量關(guān)系為AM= DE;
②如圖3,當(dāng)∠BAC=120°,ED=6時(shí),AM的長(zhǎng)為 。
(2)猜想論證:
在圖1中,當(dāng)∠BAC為任意角時(shí),猜想AM與DE之間的數(shù)量關(guān)系,并給予證明。
(3)拓展應(yīng)用
如圖4,在四邊形ABCD中,AD=AB,CD=BC,∠B=90°,∠A=60°,CA=,在四邊ABCD的內(nèi)部找到點(diǎn)P,使得△PAD與△PBC互為“頂補(bǔ)等腰三角形”。并回答下列問題。
①請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出點(diǎn)P的位置,并描述出該點(diǎn)的位置為 ;
②直接寫出△PBC的“頂心距”的長(zhǎng)為 。
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