Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過點(diǎn)C的切線交AB的延長線于點(diǎn)D，∠ACD=120°．
（1）求證：AC=CD；
（2）若⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),扇形面積的計算

專題：

分析：（1）連接OC，結(jié)合切線的性質(zhì)和條件可求得∠A=∠D=30°，可證明AC=CD；
（2）由（1）結(jié)合條件直角三角形的性質(zhì)可求得CD，可求得△OCD和扇形OCB的面積，可求出陰影部分的面積．

解答： （1）證明：如圖，連接CO，

∵CD切⊙O于C，
∴∠OCD=90°，
∴∠OCA=∠OAC=30°，∠ADC=30°，
∴∠A=∠D，
∴AC=CD；
（2）解：由（1）知∠OCD=90°，∠ADC=30°，∠COD=60°，
∴OD=2OC=4，CD=2

3

，
∴S_△OCD=

1

2

CD•OC=2

3

，S_扇形OCB=

60πOC2

360

=

2π

3

，
∴S_陰影=2

3

-

2π

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查切線的性質(zhì)及扇形面積的計算，掌握過切點(diǎn)的半徑與切線垂直是解題的關(guān)鍵．在（1）中注意OA=OC的運(yùn)用，在（2）中先求得CD是解題的關(guān)鍵．