Question

如圖，拋物線C₁：y=（x+m）²（m為常數(shù)，m＞0），平移拋物線y=﹣x²，使其頂點(diǎn)D在拋物線C₁位于y軸右側(cè)的圖象上，得到拋物線C₂．拋物線C₂交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為a．

（1）如圖1，若m=．
①當(dāng)OC=2時(shí)，求拋物線C₂的解析式；
②是否存在a，使得線段BC上有一點(diǎn)P，滿(mǎn)足點(diǎn)B與點(diǎn)C到直線OP的距離之和最大且AP=BP？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）如圖2，當(dāng)OB=2﹣m（0＜m＜）時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出到△ABD的三邊所在直線的距離相等的所有點(diǎn)的坐標(biāo)（用含m的式子表示）．

Answer 1

(1) ①y=﹣x²+x+2．②．（2）P₁（﹣m，1），P₂（﹣m，﹣3），P₃（﹣﹣m，3），P₄（3﹣m，3）．

試題分析：（1）①首先寫(xiě)出平移后拋物線C₂的解析式（含有未知數(shù)a），然后利用點(diǎn)C（0，2）在C₂上，求出拋物線C₂的解析式；
②認(rèn)真審題，題中條件“AP=BP”意味著點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸上，“點(diǎn)B與點(diǎn)C到直線OP的距離之和最大”意味著OP⊥BC．畫(huà)出圖形，如圖1所示，利用三角函數(shù)（或相似），求出a的值；
（2）解題要點(diǎn)有3個(gè)：
i）判定△ABD為等邊三角形；
ii）理論依據(jù)是角平分線的性質(zhì)，即角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；
iii）滿(mǎn)足條件的點(diǎn)有4個(gè)，即△ABD形內(nèi)1個(gè)（內(nèi)心），形外3個(gè)．不要漏解．
試題解析：（1）當(dāng)m=時(shí)，拋物線C₁：y=（x+）²．
∵拋物線C₂的頂點(diǎn)D在拋物線C₁上，且橫坐標(biāo)為a，
∴D（a，（a+）²）．
∴拋物線C₂：y=﹣（x﹣a）²+（a+）²（I）．
①∵OC=2，∴C（0，2）．
∵點(diǎn)C在拋物線C₂上，
∴﹣（0﹣a）²+（a+）²=2，
解得：a=，代入（I）式，
得拋物線C₂的解析式為：y=﹣x²+x+2．
②在（I）式中，
令y=0，即：﹣（x﹣a）²+（a+）²=0，解得x=2a+或x=﹣，∴B（2a+，0）；
令x=0，得：y=a+，∴C（0，a+）．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，則有：
，解得，
∴直線BC的解析式為：y=﹣x+（a+）．
假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的a值．
∵AP=BP，
∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上，即點(diǎn)P在C₂的對(duì)稱(chēng)軸上；
∵點(diǎn)B與點(diǎn)C到直線OP的距離之和≤BC，只有OP⊥BC時(shí)等號(hào)成立，
∴OP⊥BC．
如圖1所示，設(shè)C₂對(duì)稱(chēng)軸x=a（a＞0）與BC交于點(diǎn)P，與x軸交于點(diǎn)E，
則OP⊥BC，OE=a．

∵點(diǎn)P在直線BC上，
∴P（a，a+），PE=a+．
∵tan∠EOP=tan∠BCO=，
∴，
解得：a=．
∴存在a=，使得線段BC上有一點(diǎn)P，滿(mǎn)足點(diǎn)B與點(diǎn)C到直線OP的距離之和最大且AP="BP"
（3）∵拋物線C₂的頂點(diǎn)D在拋物線C₁上，且橫坐標(biāo)為a，
∴D（a，（a+m）²）．
∴拋物線C₂：y=﹣（x﹣a）²+（a+m）²．
令y=0，即﹣（x﹣a）²+（a+m）²=0，解得：x₁=2a+m，x₂=﹣m，∴B（2a+m，0）．
∵OB=2﹣m，
∴2a+m=2﹣m，
∴a=﹣m．
∴D（﹣m，3）．
AB=OB+OA=2﹣m+m=2．
如圖2所示，設(shè)對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)E，則DE=3，BE=AB=，OE=OB﹣BE=﹣m．

∵tan∠ABD=，
∴∠ABD=60°．
又∵AD=BD，∴△ABD為等邊三角形．
作∠ABD的平分線，交DE于點(diǎn)P₁，則P₁E=BE•tan30°=×=1，
∴P₁（﹣m，1）；
在△ABD形外，依次作各個(gè)外角的平分線，它們相交于點(diǎn)P₂、P₃、P₄．
在Rt△BEP₂中，P₂E=BE•tan60°=•=3，
∴P₂（﹣m，﹣3）；
易知△ADP₃、△BDP₄均為等邊三角形，∴DP₃=DP₄=AB=2，且P₃P₄∥x軸．
∴P₃（﹣﹣m，3）、P₄（3﹣m，3）．
綜上所述，到△ABD的三邊所在直線的距離相等的所有點(diǎn)有4個(gè)，
其坐標(biāo)為：P₁（﹣m，1），P₂（﹣m，﹣3），P₃（﹣﹣m，3），P₄（3﹣m，3）．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．