如圖,拋物線C1:y=(x+m)2(m為常數(shù),m>0),平移拋物線y=﹣x2,使其頂點(diǎn)D在拋物線C1位于y軸右側(cè)的圖象上,得到拋物線C2.拋物線C2交x軸于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),交y軸于點(diǎn)C,設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為a.

(1)如圖1,若m=
①當(dāng)OC=2時,求拋物線C2的解析式;
②是否存在a,使得線段BC上有一點(diǎn)P,滿足點(diǎn)B與點(diǎn)C到直線OP的距離之和最大且AP=BP?若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由;
(2)如圖2,當(dāng)OB=2﹣m(0<m<)時,請直接寫出到△ABD的三邊所在直線的距離相等的所有點(diǎn)的坐標(biāo)(用含m的式子表示).
(1) ①y=﹣x2+x+2.②.(2)P1﹣m,1),P2﹣m,﹣3),P3(﹣﹣m,3),P4(3﹣m,3).

試題分析:(1)①首先寫出平移后拋物線C2的解析式(含有未知數(shù)a),然后利用點(diǎn)C(0,2)在C2上,求出拋物線C2的解析式;
②認(rèn)真審題,題中條件“AP=BP”意味著點(diǎn)P在對稱軸上,“點(diǎn)B與點(diǎn)C到直線OP的距離之和最大”意味著OP⊥BC.畫出圖形,如圖1所示,利用三角函數(shù)(或相似),求出a的值;
(2)解題要點(diǎn)有3個:
i)判定△ABD為等邊三角形;
ii)理論依據(jù)是角平分線的性質(zhì),即角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等;
iii)滿足條件的點(diǎn)有4個,即△ABD形內(nèi)1個(內(nèi)心),形外3個.不要漏解.
試題解析:(1)當(dāng)m=時,拋物線C1:y=(x+2
∵拋物線C2的頂點(diǎn)D在拋物線C1上,且橫坐標(biāo)為a,
∴D(a,(a+2).
∴拋物線C2:y=﹣(x﹣a)2+(a+2(I).
①∵OC=2,∴C(0,2).
∵點(diǎn)C在拋物線C2上,
∴﹣(0﹣a)2+(a+2=2,
解得:a=,代入(I)式,
得拋物線C2的解析式為:y=﹣x2+x+2.
②在(I)式中,
令y=0,即:﹣(x﹣a)2+(a+2=0,解得x=2a+或x=﹣,∴B(2a+,0);
令x=0,得:y=a+,∴C(0,a+).
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,則有:
,解得,
∴直線BC的解析式為:y=﹣x+(a+).
假設(shè)存在滿足條件的a值.
∵AP=BP,
∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上,即點(diǎn)P在C2的對稱軸上;
∵點(diǎn)B與點(diǎn)C到直線OP的距離之和≤BC,只有OP⊥BC時等號成立,
∴OP⊥BC.
如圖1所示,設(shè)C2對稱軸x=a(a>0)與BC交于點(diǎn)P,與x軸交于點(diǎn)E,
則OP⊥BC,OE=a.

∵點(diǎn)P在直線BC上,
∴P(a,a+),PE=a+
∵tan∠EOP=tan∠BCO=
,
解得:a=
∴存在a=,使得線段BC上有一點(diǎn)P,滿足點(diǎn)B與點(diǎn)C到直線OP的距離之和最大且AP="BP"
(3)∵拋物線C2的頂點(diǎn)D在拋物線C1上,且橫坐標(biāo)為a,
∴D(a,(a+m)2).
∴拋物線C2:y=﹣(x﹣a)2+(a+m)2
令y=0,即﹣(x﹣a)2+(a+m)2=0,解得:x1=2a+m,x2=﹣m,∴B(2a+m,0).
∵OB=2﹣m,
∴2a+m=2﹣m,
∴a=﹣m.
∴D(﹣m,3).
AB=OB+OA=2﹣m+m=2
如圖2所示,設(shè)對稱軸與x軸交于點(diǎn)E,則DE=3,BE=AB=,OE=OB﹣BE=﹣m.

∵tan∠ABD=
∴∠ABD=60°.
又∵AD=BD,∴△ABD為等邊三角形.
作∠ABD的平分線,交DE于點(diǎn)P1,則P1E=BE•tan30°=×=1,
∴P1﹣m,1);
在△ABD形外,依次作各個外角的平分線,它們相交于點(diǎn)P2、P3、P4
在Rt△BEP2中,P2E=BE•tan60°==3,
∴P2﹣m,﹣3);
易知△ADP3、△BDP4均為等邊三角形,∴DP3=DP4=AB=2,且P3P4∥x軸.
∴P3(﹣﹣m,3)、P4(3﹣m,3).
綜上所述,到△ABD的三邊所在直線的距離相等的所有點(diǎn)有4個,
其坐標(biāo)為:P1﹣m,1),P2﹣m,﹣3),P3(﹣﹣m,3),P4(3﹣m,3).
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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如圖,拋物線y=﹣x2+3x+4與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),點(diǎn)D在拋物線上且橫坐標(biāo)為3.
(1)求tan∠DBC的值;
(2)點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn),且∠DBP=45°,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

己知:二次函數(shù)y=ax2+bx+6(a≠0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))點(diǎn)
A、點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是一元二次方程x2-4x-12=0的兩個根.
(1)請直接寫出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo).
(2)請求出該二次函數(shù)表達(dá)式及對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).
(3)如圖1,在二次函數(shù)對稱軸上是否存在點(diǎn)P,使△APC的周長最小,若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(4)如圖2,連接AC、BC,點(diǎn)Q是線段0B上一個動點(diǎn)(點(diǎn)Q不與點(diǎn)0、B重合).過點(diǎn)Q作QD∥AC交BC于點(diǎn)D,設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)(m,0),當(dāng)△CDQ面積S最大時,求m的值.

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小明動手做了一個質(zhì)地均勻、六個面完全相同的正方體,,分別標(biāo)有整數(shù)-2、-1、0、1、2、3,且每個面和它所相對的面的數(shù)字之和均相等,小明向上拋擲該正方體,落地后正方體正面朝上數(shù)字作為為點(diǎn)的橫坐標(biāo),將它所對的面的數(shù)字作為點(diǎn)的縱坐標(biāo),則點(diǎn)落在拋物線軸所圍成的區(qū)域內(nèi)(不含邊界)的概率是      

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖①,已知二次函數(shù)的解析式是y=ax2+bx(a>0),頂點(diǎn)為A(1,-1).
(1)a=   ;
(2)若點(diǎn)P在對稱軸右側(cè)的二次函數(shù)圖像上運(yùn)動,連結(jié)OP,交對稱軸于點(diǎn)B,點(diǎn)B關(guān)于頂點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為C,連接PC、OC,求證:∠PCB=∠OCB;
(3)如圖②,將拋物線沿直線y=-x作n次平移(n為正整數(shù),n≤12),頂點(diǎn)分別為A1,A2,…,An,橫坐標(biāo)依次為1,2,…,n,各拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)分別為D1,D2,…,Dn,以線段AnDn為邊向右作正方形AnDnEnFn,是否存在點(diǎn)Fn恰好落在其中的一個拋物線上,若存在,求出所有滿足條件的正方形邊長;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知二次函數(shù)y=-
1
2
x2+4x+c
的圖象經(jīng)過A(2,0).
(1)求c的值;
(2)當(dāng)x為何值時,這個二次函數(shù)有最大值,最大值為多少;
(3)若二次函數(shù)與y軸相交于的B點(diǎn),且該二次函數(shù)的對稱軸與x軸交于點(diǎn)C,連結(jié)BA、BC,求△ABC的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

如圖,已知二次函數(shù) =,當(dāng)<<時, 的增大而增大,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是  (  )
A.>B.<C.>0D.<<

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,對稱軸是直線x=1,則下列四個結(jié)論錯誤的是( 。
A.c>0 B.2a+b=0C.b2﹣4ac>0 D.a(chǎn)﹣b+c>0

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在矩形ABCD中,AB=2,BC=6,點(diǎn)E為對角線AC的中點(diǎn),點(diǎn)P在邊BC上,連接PE、PA.當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動時,設(shè)BP=x,△APE的周長為y,下列圖象中,能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是(   )

A. B.  C.  D.

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