Question

如圖，拋物線經(jīng)過點A（1，0），B（5，0），C（0，）三點，設(shè)點E（x，y）是拋物線上一動點，且在x軸下方，四邊形OEBF是以O(shè)B為對角線的平行四邊形．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當點E（x，y）運動時，試求平行四邊形OEBF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出面積S的最大值？

（3）是否存在這樣的點E，使平行四邊形OEBF為正方形？若存在，求E點，F(xiàn)點的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）拋物線的解析式為：y=x2﹣4x+；

（2）S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=﹣x2+20x﹣（1＜x＜5），S的最大值為；

（3）存在點E（，﹣），使平行四邊形OEBF為正方形，此時點F坐標為（，）．

【解析】

試題分析：（1）由拋物線經(jīng)過點A（1，0），B（5，0），C（0，）三點，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；

（2）由點E（x，y）是拋物線上一動點，且位于第四象限，可得y＜0，即﹣y＞0，﹣y表示點E到OA的距離，又由S=2S△OBE=2××OB•|y|，即可求得平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合圖象，求得自變量x的取值范圍；

（3）由當OB⊥EF，且OB=EF時，平行四邊形OEBF是正方形，可得此時點E坐標只能（，﹣），而坐標為（，﹣）點在拋物線上，故可判定存在點E，使平行四邊形OEBF為正方形．

試題解析：（1）設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，

∵拋物線經(jīng)過點A（1，0），B（5，0），C（0，）三點，則由題意可得：

，解得．

∴所求拋物線的解析式為：y=x2﹣4x+；

（2）∵點E（x，y）是拋物線上一動點，且在x軸下方，

∴y＜0，

即﹣y＞0，﹣y表示點E到OA的距離．

∵OB是平行四邊形OEBF的對角線，

∴S=2S△OBE=2××OB•|y|=﹣5y=﹣5（x2﹣4x+）=﹣x2+20x﹣，

∵S=﹣（x﹣3）2+

∴S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=﹣x2+20x﹣（1＜x＜5），S的最大值為；

（3）∵當OB⊥EF，且OB=EF時，平行四邊形OEBF是正方形，

∴此時點E坐標只能（，﹣），而坐標為（，﹣）點在拋物線上，

∴存在點E（，﹣），使平行四邊形OEBF為正方形，

此時點F坐標為（，）．

考點：二次函數(shù)綜合題．