【題目】如圖,直線()軸于點,交軸于點.

(1)求點的坐標(用含的代數(shù)式表示)

(2)若點是直線上的任意一點,且點與點距離的最小值為4,求該直線表達式;

(3)(2)的基礎上,若點在第一象限,且為等腰直角三角形,求點的坐標.

【答案】(1)的坐標分別是(2) y=-x+2;(3)當點的坐標是時,是等腰直角三角形.

【解析】

(1)利用坐標軸上點的特點即可得出結(jié)論;
(2)利用直角三角形的面積相等建立方程求出b=2,即可得出結(jié)論;
(3)①當∠ACB=90°時,先判斷出四邊形ODCE是矩形,得出OD=CE,CD=OE,∠DCE=90°,再判斷出△BCE≌△ACD(AAS),得出BE=AD,CE=CD,進而得出AD=4-m,BE=m-2,進而用AD=BE建立方程求解即可得出結(jié)論;②③當∠BAC=90°和∠ABC=90°時,構(gòu)造全等三角形即可得出結(jié)論.

(1)當時,

時,,解得.

∴點的坐標分別是

(2)如圖,

時,點與點的距離最小,此時,

∵點的坐標是,點的坐標是,

,.

中,

,

∴直線AB的解析式為y=-x+2

(3)如圖,

由(1)知,A(4,0),B(0,2),
∴OA=4,OB=2
過點C作CD⊥x軸于D,作CE⊥y軸于E,
∵∠DOE=90°,
∴四邊形ODCE是矩形,
∴OD=CE,CD=OE,∠DCE=90°,
∴∠BCE+∠BCD=90°,
∵△ABC是等腰直角三角形,
當∠ACB=90°時,
∴BC=AC,∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠BCD=90°,
∴∠BCE=∠ACE,
∴△BCE≌△ACD(AAS),
∴BE=AD,CE=CD,
∴設點C坐標為(m,m),
∴AD=OA-OD=4-m,BE=OE-OB=m-2
∴4-m=m-2,
∴m=3,
∴C(3,3),
如圖2,


②當∠BAC=90°時,過點C'作C'F⊥x軸于F,
∴∠C'AF+∠AC'F=90°,
∵∠C'AF+∠OAB=90°,
∴∠OAB=∠FC'A,
∵AB=AC',
∴△AOB≌△C'FA(AAS),
∴C'F=OA=4,AF=OB=2,
∴OF=OA+AF=6,
∴C'(6,4),
③當∠ABC=90°時,同②的方法得,C(2,6),
即:點C的坐標為(3,3)或(6,4)或(2,6).

練習冊系列答案
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